2014　弘前大学　後期理工学部MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)=x^4+b{x}^3+b{x}^2+cx+d$が

$\underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x-1}}=1\text{，}f(2)=8\text{，}{f}^{\prime }(-1)=-3$

を満たすとき，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の値を求めよ．ただし，$f^{\prime }(x)$は$f(x)$の導関数とする．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$e$を自然対数の底とし，$g(x)=e^{-x^2}$とする．曲線$y=g(x)$上の点$(a,g(a))$における接線の$y$切片を$h(a)$とする．$a$が実数全体を動くとき，$h(a)$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　定積分

${\displaystyle {\int }_{-1}^0}{\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x^2+3}}dx$

を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(2)

${\displaystyle {\int }_0^a}\sin x\cos 2xdx=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

となる$a$の値を求めよ．ただし，${\displaystyle \frac{2}{3}}\pi \leqq \alpha \leqq {\displaystyle \frac{4}{3}}\pi$とする．

【３】　$2$直線$L_1\text{：}x-y=-2\text{，}{L}_2\text{：}x+y=1$がある．$-1<a<1$とし，直線$y=ax$と$L_1$の交点を$\mathrm{A}\text{，}$直線$y=ax$と$L_2$の交点を$\mathrm{B}$とする．$-1<a<1$の範囲で$a$を動かすとき，線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に外分する点$\mathrm{P}$の軌跡を求め，その概形をかけ．

【４】　$xy$平面上の点$(x,y)$で，$x\text{，}y$が$1$以上$4$以下の整数となるような点の全体を$K$とする．$K$の中から同一直線上にない$3$点をとり，三角形をつくる．このような三角形の中で，その重心が再び$K$の点となるような三角形の総数を求めよ．