2014　東北大学　前期MathJax

【１】　曲線$C\text{：}y=x^2$上の点$\mathrm{P}(a,a^2)$における接線を$l_1\text{，}$点$\mathrm{Q}(b,b^2)$における接線を$l_2$とする．ただし，$a<b$とする．$l_1$と$l_2$の交点を$\mathrm{R}$とし，線分$\mathrm{PR}\text{，}$線分$\mathrm{QR}$および曲線$C$で囲まれる図形の面積を$S$とする．

(1)　$\mathrm{R}$の座標を$a$と$b$を用いて表せ．

(2)　$S$を$a$と$b$を用いて表せ．

(3)　$l_1$と$l_2$が垂直であるときの$S$の最小値を求めよ．

【２】　$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$のそれぞれの数字が書かれた玉が$2$個ずつ，合計$10$個ある．

(1)　$10$個の玉を袋に入れ，よくかき混ぜて$2$個の玉を取り出す．書かれている$2$つの数字の積が$10$となる確率を求めよ．

(2)　$10$個の玉を袋に入れ，よくかき混ぜて$4$個の玉を取り出す．書かれている$4$つの数字の積が$100$となる確率を求めよ．

(3)　$10$個の玉を袋に入れ，よくかき混ぜて$6$個の玉を順に取り出す．$1$個目から$3$個目の玉に書かれている$3$つの数字の積と，$4$個目から$6$個目の玉に書かれている$3$つの数字の積が等しい確率を求めよ．

【３】　$t$を正の実数とする．三角形$\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$t:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．線分$\mathrm{AN}$と線分$\mathrm{BM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$t$を用いて表せ．

(2)　直線$\mathrm{OP}$は線分$\mathrm{BM}$と直交し，かつ$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線であるとする．このとき，辺$\mathrm{OA}$と辺$\mathrm{OB}$の長さの比と$t$の値を求めよ．

【４】　実数$x\text{，}y$に対して

$A=2\sin x+\sin y\text{，}B=2\cos x+\cos y$

とおく．

(1)　$\cos (x-y)$を$A\text{，}B$を用いて表せ．

(2)　$x\text{，}y$が$A=1$を満たしながら変化するとき，$B$の最大値と最小値，およびそのときの$\sin x\text{，}\cos x$の値を求めよ．

【１】　$x=t+{\displaystyle \frac{1}{3t}}(0<t\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}})$とする．

(1)　$x$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$x$の方程式$x^2+ax+b=0$が(1)の範囲に少なくとも$1$つの解をもつような点$(a,b)$の存在範囲を図示せよ．

【２】　右図のような平行六面体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$が$xyz$空間内にあり，$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(2,0,0)\text{，}\mathrm{C}(0,3,0)\text{，}\mathrm{D}(-1,0,\sqrt{6})$とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，辺$\mathrm{DG}$上の点$\mathrm{N}$を$\mathrm{MN}=4$かつ$\mathrm{DN}<\mathrm{GN}$を満たすように定める．

(1)　$\mathrm{N}$の座標を求めよ．

(2)　$3$点$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$を通る平面と$y$軸との交点$\mathrm{P}$を求めよ．

(3)　$3$点$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$を通る平面による平行六面体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$の切り口の面積を求めよ．

【４】　不等式$1\leqq x^2+y^2\leqq 4$が表す$xy$平面内の領域を$D$とする．$\mathrm{P}$を円$x^2+y^2=1$上の点，$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$を円$x^2+y^2=4$上の異なる$2$点とし，三角形$\mathrm{PQR}$は領域$D$に含まれているとする．$a\text{，}b$を実数とし，行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$の表す$1$次変換により$\mathrm{P}$は${\mathrm{P}}^{\prime }\text{，}\mathrm{Q}$は${\mathrm{Q}}^{\prime }\text{，}\mathrm{R}$は${\mathrm{R}}^{\prime }$に移されるとする．このとき，三角形${\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }{\mathrm{R}}^{\prime }$が領域$D$に含まれるための$a\text{，}b$の必要十分条件を求めよ．ただし，三角形は内部も含めて考えるものとする．

【５】　整数$n$に対して，

$I_n={\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{\cos ((2n+1)x)}{\sin x}}dx$

とする．

(1)　$I_0$を求めよ．

(2)　$n$を正の整数とするとき，$I_n-I_{n-1}$を求めよ．

(3)　$I_5$を求めよ．

【６】　以下の問いに答えよ．

(1)　$n$を自然数，$a$を正の定数として，

$f(x)=(n+1)\{\log (a+x)-\log (n+1)\}-n(\log a-\log n)-\log x$

とおく．$x>0$における関数$f(x)$の極値を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．

(2)　$n$が$2$以上の自然数のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{k+1}{k}}>{(n+1)}^{\frac{1}{n}}$

文系・理系の学部・学科別

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