2014　東北大学　後期MathJax

${\log }_{10}({\displaystyle \frac{{10}^x\times {10}^y}{10}}+10000\times {\displaystyle \frac{{100}^x}{{100}^y}}-1000\times {\displaystyle \frac{{10}^{3x}}{{10}^y}})\geqq 0$

$\mathrm{A}(6,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,6,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,3)\text{，}$

$\mathrm{P}(2a,0,1+2a)\text{，}\mathrm{Q}(0,2b,-1-4b)$

をとる．線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$を含む平面と直線$\mathrm{MG}$が垂直となるような$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{MG}$の長さの最小値と，そのときの$a\text{，}b$の値を求めよ．

(ⅰ)　$C$と$l$は異なる$2$点で交わる．

(ⅱ)　$C$と$l$で囲まれた領域の面積は$36$である．

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1& -\sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 1\end{array}\right)\text{，}C=BA{B}^{-1}$

(1)　$C$を求めよ．

(2)　$C\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$を満たす点$(x,y)$をすべて求めよ．

(3)　点$(x,y)$が直線$x=1$上を動くとき，

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=C\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

によって定まる点$(x^{\prime },y^{\prime })$の軌跡の方程式を求めよ．

$\mathrm{A}(6,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,6,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,3)\text{，}$

$\mathrm{P}(2a,0,2a+1)\text{，}\mathrm{Q}(0,2a,2a-1)$

をとる．

(1)　線分$\mathrm{PQ}$が三角形$\mathrm{ABC}$の辺または内部と共有点をもつ$a$の範囲を求めよ．

(2)　(1)の共有点と原点との距離の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．

$\{\begin{array}{l}0\leqq x\leqq 3n\\ 0\leqq 3y\leqq 2x+3\end{array}$

に含まれ，$x$座標，$y$座標ともに整数である点$(x,y)$の個数を$a_n$とする．

(1)　$a_1$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．

(3)　$a_n$を求めよ．

(4)　$D_n$の面積を$S_n$とする．次の極限値を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }n({\displaystyle \frac{a_n}{S_n}}-1)$

(1)　$2$曲線$C_1\text{，}{C}_2$が異なる$3$つの交点をもつための$a$の条件を求めよ．

(2)　$2$曲線$C_1\text{，}{C}_2$が異なる$3$つの交点をもち，$C_1$と$C_2$で囲まれる$2$つの部分の面積が等しくなるような$a$の値を求めよ．

$C\text{：}x=\tan t\text{，}y={\displaystyle \frac{1}{\cos t}}(0\leqq t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

を考える．

(1)　$l$と$C$の交点の座標を求めよ．

(2)　$l$と$C$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．