2014　茨城大学　推薦理(理学科)学部小論文MathJax

2014　茨城大学　推薦理(理学科)学部小論文

数学・情報数理，物理学コース

易□　並□　難□

(1)　 $- \frac{x^{2}}{2} + \frac{1 + x^{2}}{2} \log (1 + x^{2})$ を微分せよ．

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数学・情報数理，物理学コース

易□　並□　難□

(2)　極限値 $\lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{n^{2}} \log (1 + \frac{k^{2}}{n^{2}})$ を求めよ．なお，必要なら(1)で得られた結果を用いてよい．

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数学・情報数理，物理学コース

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(3)　定積分 $\int_{0}^{π} \sin^{2} \frac{x}{6} \cos \frac{x}{6} d x$ を計算せよ．

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数学・情報数理，物理学コース

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(4)　実数を成分とする行列 $A = (\begin{matrix} a & - b \\ b & a \end{matrix})$ で， $A^{3} = (\begin{matrix} - 8 & 0 \\ 0 & - 8 \end{matrix})$ となるものをすべて求めよ．

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数学・情報数理，物理学コース

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(1)　曲線 $C$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標を求めよ．

(2)　極限 $\lim_{x \to \infty} f (x) ， \lim_{x \to - \infty} f (x)$ を求めよ．

(3)　関数 $f (x)$ の増減，極値， $C$ の凹凸，変曲点，漸近線を調べ， $C$ の概形をかけ．

(4)　曲線 $C$ と $x$ 軸の囲む部分の面積を求めよ．

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数学・情報数理，物理学コース

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$q_{1} = \frac{1}{2} ， q_{n + 1} = \frac{1}{2 + q_{n}} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

で定め， $r_{n} = | q_{n} - α |$ とおく．以下の各問に答えよ．

(1)　 $α$ および $q_{2} ， q_{3} ， q_{4}$ を求めよ．

(2)　各自然数 $n$ に対して $q_{n + 1} - α = - \frac{q_{n} - α}{(2 + α) (2 + q_{n})}$ を示せ．

(3)　各自然数 $n$ に対して $r_{n + 1} < \frac{1}{4} r_{n}$ を示せ．

(4)　極限値 $\lim_{n \to \infty} q_{n} ， \lim_{n \to \infty} = \frac{r_{n + 1}}{r_{n}}$ を求めよ．