2014　筑波大学　推薦理工学群工学システム学類MathJax

【１】　図１に示すような，長さ$l\text{，}$半径$r$の半円柱形の容器$C$と，半径$r$の半球形の容器$S$がある．これら$2$つの容器に水を満たした上で，それぞれ図１の一転鎖線回りに静かに角度$\theta$傾ける．これらの容器に残る水の様子を横から観察すると，共に図２のように見える．容器の立体形状は異なることに注意して，以下の設問に答えよ．

問１　容器を傾ける前に，$2$つの容器に満たされた水の量が同じであったとする．容器$C$の長さ$l$を求めよ．

これ以降は，問１で求めた$l$の値を用いることとする．

問２　図３に示すように，傾けた容器に対して，原点$\mathrm{O}$と$xy$座標を設定する．容器$C$および$S$に残る水の，位置$x$における水平断面の面積を，それぞれ$S_C(x)$および$S_S(x)$とする．$S_C(x)$および$S_S(x)$を求めよ．

問３　容器$C$および$S$に残る水の体積を，それぞれ$V_C(\theta )$および$V_S(\theta )$とする．問２の結果に基づき，$V_C(\theta )$および$V_S(\theta )$を，積分を用いて求めよ．

問４　$2$つの容器に残る水の体積の差を$W(\theta )\text{（}=V_C(\theta )-V_S(\theta )\text{）}$とする．$W(\theta )$が$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において極値を$1$つもつことを，中間値の定理を用いて示せ．（$\cos \theta$を用いて${\displaystyle \frac{d}{d\theta }}W(\theta )$を整理すると見通しが良い．）

問５　$\theta$の区間$[0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$に対して，関数$W(\theta )$の増減表を示せ．ただし，$W(\theta )$が問４の極値をとるときの$\theta$の値は${\theta }^{*}$とする．