2014　埼玉大学　後期（理，工学部）MathJax

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k=2n(n+1)(n-2)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つとする．また，$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{n}}\text{，}{c}_n=2^{-b_n}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

とする．

(1)　一般項$a_n$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$を$n$を用いて表せ．

(3)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{c}_n$を求めよ．

$(t+1)\overrightarrow{\mathrm{OP}}+(t-1)\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=t(t+1)\overrightarrow{\mathrm{OR}}$

が成り立っているとする．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を$t$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．

(3)　$\angle \mathrm{BAC}$を求めよ．

(4)　$\angle \mathrm{AOB}=\theta$とするとき，$t$を$\theta$を用いて表せ．

$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=A^n\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．$p$を$2$以上のある自然数とし，$(x_p,y_p)=(-1,0)$が成り立っているとする．以下，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とする．

(1)　$(x_1,y_1)=(a,c)$および$(x_{p+1},y_{p+1})=(-a,-c)$を示せ．

(2)

$(A^p+E)\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

を示せ．

(3)　$c\ne 0$のとき，$A^p=-E$であることを示せ．

(4)　$p$が偶数のとき，$A_p=-E$であることを示せ．

(5)　$p=3$のとき，$A^3\ne -E$を満たす$A$の例を$1$つあげよ．

(1)　$m\text{，}\alpha$を$\beta$を用いて表せ．

(2)　$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt\text{（}x\geqq 0\text{）}$を計算せよ．

(3)　積分

$I={\displaystyle {\int }_0^{\beta }}|f(x)-mx|dx$

を最小にする$\beta$の値を求めよ．ただし，最小値を求める必要はない．