2014　千葉大学　先進科学プログラム12月MathJax

【１】　$x={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}\text{，}y={\displaystyle \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}}$のとき，次の式の値を求めなさい．

(1)　$x^2+y^2$

(2)　$x^3+y^3$

【２】　$1$から順番に番号が振られた$m$個の箱がある．

(1)　$1$から順番に番号が振られた$n$（$>m$）個の玉を箱にでたらめに入れるとき，入れ方は何通りあるか．また，$1$番の箱が空になる確率を求めなさい．

(2)　番号が振られておらず区別できない$n$（$>m$）個の玉を箱にでたらめに入れるとき，入れ方は何通りあるか．

【３】　$a>1$のとき，不等式${\log }_a(7-2x)\geqq {\log }_{\sqrt{a}}(x-2)$を解きなさい．

【４】　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{10}}$とする．

(1)　$\sin 2\theta =\cos 3\theta$が成り立つことを示しなさい．

(2)　$\sin \theta$の値を求めなさい．

【５】　関数$f(x)=x^3-{\displaystyle \frac{4}{9}}x$について次の問いに答えなさい．

(1)　$a$を正の定数とするとき，曲線$y=f(x)$には傾き$a$の接線が$2$本引ける．$2$つの接点の$x$座標を$a$を用いて表しなさい．

(2)　(1)の$2$つの接点を通る直線が$x$軸に平行であるとき，この直線の方程式を求めなさい．

(3)　(2)の直線と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めなさい．

【６】　$3$点$\mathrm{A}(1,1,1)\text{，}\mathrm{B}(-1,2,3)\text{，}\mathrm{P}(t,1,-4)$について次の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を成分表示しなさい．

(2)　$▵\mathrm{PAB}$の面積を最小にするように実数$t$の値を定め，面積の最小値を求めなさい．