2014　東京工業大学　第６類AO総合問題CMathJax

(b)　面接においては，問題を解くと同時に，問題と解くために必要な前提条件などにどれだけ言及できるかも確かめます．

問題　東西に走る全長$L\mathrm{km}$の街道沿いに，ある施設$\mathrm{A}$を建てる予定です．この施設を利用する$n$人の利用者は，街道沿いに住んでおり，その住居はそれぞれ街道の西端から$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_n\mathrm{km}$の所にあります．ただし，ここで$0\leqq x_1\leqq x_2\leqq \cdots \leqq x_n\leqq L$が成り立つとします．

(1)　施設$\mathrm{A}$を街道の西端から$x\mathrm{km}$の所に建てたとき，各利用者の住居と施設の距離の二乗の総和が最小となっているとします．このときの施設$\mathrm{A}$の位置を式で示し，それがどのような場所か言葉で説明しなさい．

(2)　利用者は$3$人とし，それぞれの住居の位置は$x_1=3\text{，}{x}_2=4\text{，}{x}_3=9\text{，}L=10$とします．施設$\mathrm{A}$を街道の西端から$x\mathrm{km}$の所に建てたとき，各利用者の住居と施設の距離の総和を$f(x)$とします．関数$f(x)$の形状を直交座標系上に描きなさい．

(3)　施設$\mathrm{A}$を街道の西端から$x\mathrm{km}$の所に建てたとき，各利用者の住居と施設の距離の総和が最小となっているとします．このとき，利用者の総数$n$が奇数ならば，$x$は$\{x_1,x_2,\cdots ,x_n\}$の中央値，すなわち$c={\displaystyle \frac{n+1}{2}}$としたときの$x_c\text{，}$となっていることを証明しなさい．