2014　一橋大学　前期MathJax

【１】　$a-b-8$と$b-c-8$が素数となるような素数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ．

【２】　$0<t<1$とし，放物線$C\text{：}y=x^2$上の点$(t,t^2)$における接線を$l$とする．$C$と$l$と$x$軸で囲まれる部分の面積を$S_1$とし，$C$と$l$と直線$x=1$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1+S_2$の最小値を求めよ．

【３】　円$C\text{：}{x}^2+y^2=1$上の点$\mathrm{P}$における接線を$l$とする．点$(1,0)$を通り$l$と平行な直線を$m$とする．直線$m$と円$C$の$(1,0)$以外の共有点を${\mathrm{P}}^{\prime }$とする．ただし，$m$が直線$x=1$のときは${\mathrm{P}}^{\prime }$を$(1,0)$とする．

　円$C$上の点$\mathrm{P}(s,t)$から点${\mathrm{P}}^{\prime }(s^{\prime },t^{\prime })$を得る上記の操作を$\mathrm{T}$と呼ぶ．

(1)　$s^{\prime }\text{，}{t}^{\prime }$をそれぞれ$s$と$t$の多項式として表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$に操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返して得られる点を${\mathrm{P}}_n$とおく．$\mathrm{P}$が$({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$のとき，${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$を図示せよ．

(3)　正の整数$n$について，${\mathrm{P}}_n=\mathrm{P}$となるような点$\mathrm{P}$の個数を求めよ．

【４】　半径$1$の球が直円錐に内接している．この直円錐の底面の半径を$r$とし，表面積を$S$とする．

(1)　$S$を$r$を用いて表せ．

(2)　$S$の最小値を求めよ．

【５】　数直線上の点$\mathrm{P}$を次の規則で移動させる．一枚の硬貨を投げて，表が出れば$\mathrm{P}$を$+1$だけ移動させ，裏が出れば$\mathrm{P}$を原点に対して対称な点に移動させる．$\mathrm{P}$は初め原点にあるとし，硬貨を$n$回投げた後の$\mathrm{P}$の座標を$a_n$とする．

(1)　$a_3=0$となる確率を求めよ．

(2)　$a_4=1$となる確率を求めよ．

(3)　$n\geqq 3$のとき，$a_n=n-3$となる確率を$n$を用いて表せ．