2014　東京海洋大学　前期海洋科学部MathJax

【１】　次の問に答えよ．

(1)　$3$次関数$f(x)=x^3-x^2+12$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　数列$\{a_n\}$を

$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{12}}({a_n}^3-{a_n}^2+12)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定めるとき，すべての自然数$n$に対して，$1<a_n<3$が成り立つことを示せ．

(3)　$\{a_n\}$を(2)で定めた数列とするとき，すべての自然数$n$に対して，$a_{n+1}<a_n$が成り立つことを示せ．

【２】　次の不等式$\text{①}\text{，}\text{②}\text{，}\text{③}$を同時に満たす領域を$A\text{，}$不等式$\text{①}\text{，}\text{②}\text{，}\text{③}\text{，}\text{④}$を同時に満たす領域を$B$とする．

$\begin{array}{ll}y\leqq 2(x+1)(9-x)& \cdots \text{①}\\ y\geqq -3x+18& \cdots \text{②}\\ y\geqq 0& \cdots \text{③}\\ x\leqq a& \cdots \text{④}\end{array}$

ただし，$0<a<6$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　領域$A$の面積を求めよ．

(2)　領域$B$の面積が領域$A$の面積の${\displaystyle \frac{1}{4}}$倍になるときの$a$の値を求めよ．

【３】　座標空間内の定点$\mathrm{A}(0,0,1)$と$2$つの点$\mathrm{P}(p,p,0)\text{，}\mathrm{Q}(q,-q,0)$が$\angle \mathrm{PAQ}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$を満たしている．ただし，$p>0\text{，}q>0$とする．また，以下において$\mathrm{O}$を座標空間の原点とする．このとき次の問に答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{APQ}$の面積は$p$と$q$の値によらず一定であることを示し，その面積を求めよ．

(2)　四面体$\mathrm{OAPQ}$の体積が最大のとき，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標とこの四面体に内接する球の半径を求めよ．

【４】　箱の中に赤球，青球，黄球，緑球が各$1$個ずつ入っている．この箱から球を取り出し，取り出した球の色をサイコロの$1$面に塗り，球を箱にもどす．以下，同様の作業を繰り返し，箱から取り出した球の色をサイコロの$2$から$6$の各面に順に塗っていく．ただし，サイコロは立方体であり$2$つの面は辺を共有するとき「隣り合う」という．このとき次の問に答えよ．

(1)　サイコロが$3$色で塗られ，かつどの隣り合う$2$つの面の色も異なる確率を求めよ．

(2)　サイコロのどの隣り合う$2$つの面の色も異なる確率を求めよ．

【５】　次の問に答えよ．

(1)　$x^2+4y^2=9z^2$をみたす自然数$x\text{，}y\text{，}z$があれば$x$と$y$はいずれも$3$の倍数であることを示し，$x^2+4y^2=9z^2$をみたす自然数$x\text{，}y\text{，}z$の例を挙げよ．

(2)　$x^3+4y^3=9z^2$をみたす自然数$x\text{，}y\text{，}z$は存在しないことを示せ．