2014　横浜国立大学　後期MathJax

$\{\begin{array}{l}{a}^{2x+2y-1}-a^{2x+y+2}-a^{2x+y}+a^3\leqq 0\\ {\log }_a(x+2y)+{\log }_a(-{\displaystyle \frac{2}{9}}x-{\displaystyle \frac{4}{9}}y+1)\leqq 0\end{array}$

(1)　$f(f(x))-x$は$f(x)-x$で割り切れることを示せ．

(2)　方程式$f(f(x))-x=0$が異なる$4$つの実数解をもつための$a\text{，}b$の条件を求めよ．

$a_n={\displaystyle \frac{n}{[\sqrt{n}]}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定め，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$S_3\text{，}{S}_8-S_3\text{，}{S}_{15}-S_8$を求めよ．

(2)　$S_{m^2-1}\text{（}m=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$を$m$の式で表せ．

(1)　$a$と$l$の値を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$の共通接線をすべて求めよ．

(ⅰ)　直線$l\text{：}x+3y=4$上の各点を，直線$m\text{：}2x-y=-8$上の点に移す．

(ⅱ)　円$C\text{：}{x}^2+y^2=1$上の各点を，曲線$D\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{5}}+{\displaystyle \frac{y^2}{20}}=1$上の点に移す．

$a_n={\displaystyle \frac{n}{[\sqrt{n}]}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定め，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$S_3\text{，}{S}_8$を求めよ．

(2)　$S_{m^2-1}\text{（}m=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$を$m$の式で表せ．

(3)　数列$\left\{{\displaystyle \frac{S_n}{n^{\frac{3}{2}}}}\right\}$が収束することを示し，その極限値を求めよ．

$f(x)={(x^2+ax+2)}^2-(x^2+ax+2)+b$

　次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$のグラフが直線$x=-{\displaystyle \frac{a}{2}}$に関して対称であることを示せ．

(2)　方程式$f(x)=0$がただ$1$つの実数解をもつとき，$a$の範囲を求め，$b$を$a$の式で表せ．