2014　富山大学　前期MathJax

【１】　次の条件(ア)，(イ)，(ウ)を同時に満たす整数の組$(x,y)$をすべて求めよ．

(ア)　$y$は$x$の整数倍である．

(イ)　$x\geqq 2$

(ウ)　$x^2+6!=y^2$

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$2$つの実数$a\text{，}b$がともに$2$より大きいための必要十分条件は，$ab-2(a+b)+4>0$かつ$a+b>4$であることを示せ．

(2)　定数$k$に対して，方程式

${({\log }_{2}x)}^2-(k+2){\log }_{2}x-k+17=0$

を考える．

(a)　方程式が実数解$\alpha \text{，}\beta$をもつとき，${\log }_2(\alpha \beta )$と$({\log }_2\alpha )({\log }_2\beta )$を$k$を用いて表せ．

(b)　方程式が$4$より大きい異なる$2$つの実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．

【３】　曲線$y=f(x)=x^3-3x^2+x+6$を$C_1$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C_1$の接線で点$(-1,f(-1))$を通るもののうち，傾きの小さいものを$l_1\text{，}$傾きの大きいものを$l_2$とする．$l_1\text{，}{l}_2$の方程式を求めよ．

(2)　$g(x)$を$x$の$2$次式とし，曲線$y=g(x)$を$C_2$とする．曲線$C_2$が，曲線$C_1$と直線$l_1$の共有点および曲線$C_1$と直線$l_2$の共有点を通るとき，$g(x)$を求めよ．

(3)　曲線$C_2$と直線$l_1\text{，}{l}_2$によって囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq \pi$の範囲で方程式$\cos 2x-\cos x=0$の解を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq \pi$の範囲で$2$つの曲線$y=\cos 2x$と$y=\cos x$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(3)　(2)の図形を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　$x>0$のとき，不等式$\log x>-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$が成り立つことを示せ．

(2)　$f(x)=x^2\log x\text{（}x>0\text{）}$とおく．$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)=0$を示せ．

(3)　$f(x)$の増減および凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(4)　$I(x)={\displaystyle {\int }_t^2}f(x)dx\text{（}t>0\text{）}$とおく．このとき，$\underset{t\to +0}{\lim }I(t)$を求めよ．

【１】　曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{4}{x}}$上に$2$点$\mathrm{P}(1,4)\text{，}\mathrm{Q}(4,1)$をとる．直線$l\text{：}y=kx\text{（}k<0\text{）}$に垂直な直線で$\mathrm{P}$を通るものを$l_{\mathrm{P}}$とし，$\mathrm{Q}$を通るものを$l_{\mathrm{Q}}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$l_{\mathrm{P}}\text{，}{l}_{\mathrm{Q}}$の方程式を求めよ．

(2)　$l_{\mathrm{P}}$と$l$の交点$\mathrm{R}$の$x$座標を求めよ．また，$l_{\mathrm{Q}}$と$l$の交点$\mathrm{S}$の$x$座標を求めよ．

(3)　$C\text{，}l\text{，}{l}_{\mathrm{P}}\text{，}{l}_{\mathrm{Q}}$で囲まれた図形の面積$M$を求めよ．

(4)　$k$を動かすとき，$M$の最大値を求めよ．

【２】　$p$を素数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　自然数$k$が$1\leqq k\leqq p-1$を満たすとき，${}_{p}C_k$は$p$で割り切れることを示せ．ただし，${}_{p}C_k$は$p$個のものから$k$個取った組合せの総数である．

(2)　$n$を自然数とするとき，$n$に関する数学的帰納法を用いて，$n^p-n$は$p$で割り切れることを示せ．

(3)　$n$が$p$の倍数でないとき，$n^{p-1}-1$は$p$で割り切れることを示せ．

【３】　関数$f(x)$と$g(x)$を

$f(x)=\{\begin{array}{ll}|x\log \left|x\right||& \text{（}x\ne 0\text{）}\\ 0& \text{（}x=0\text{）}\end{array}$

$g(x)=-x^2+1$

により定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x>0$のとき，不等式$\log x>-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$が成り立つことを示し，これを用いて$f(x)$は$x=0$で連続であることを示せ．

(2)　$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(3)　方程式$f(x)=g(x)$の解は$x=-1\text{，}1$のみであることを示せ．

(4)　$0<r<1$とする．曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$によって囲まれた図形のうち，$x\geqq r$の範囲の部分の面積を$S(r)$とおく．このとき，$\underset{r\to +0}{\lim }S(r)$を求めよ．

【１】　自然数$n$に対して，$f_n(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{dt}{{(t^2+1)}^n}}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f_1(1)$を求めよ．

(2)　$g(x)=f_1\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$とおく．$g^{\prime }(x)$を求め，$x>0$のとき

$f_1(x)+g(x)={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

が成り立つことを示せ．

(3)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{f}_1(x)$を求めよ．

(4)　部分積分法を用いて，

$f_n(x)={\displaystyle \frac{x}{{(x^2+1)}^n}}+2n{f}_n(x)-2n{f}_{n+1}(x)$

が成り立つことを示せ．

(5)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{f}_n(x)={\displaystyle \frac{{}_{2n-3}C_{n-1}}{2^{2n-2}}}\pi \text{（}n\geqq 2\text{）}$であることを示せ．ただし，${}_{m}C_k={\displaystyle \frac{m!}{(m-k)!k!}}$とする．

【２】　微分可能な関数$f(x)$と$2$つの定数$p\text{，}q$が次の条件を満たすとする．

「すべての実数$x\text{，}y$に対して，$f(x+y)=pf(x)+qf(y)$が成り立つ」

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(0)\ne 0$とする．

(a)　$p+q=1$であることを示せ．

(b)　$f(x)$は定数関数であることを示せ．

(2)　$f(0)=0$で$f(x)$が定数関数でないとする．

(a)　$p=1$であることを示せ．

(b)　$a=f^{\prime }(0)$とするとき，$f(x)$を$a$を用いて表せ．

【３】　実数$a\text{，}b\text{，}c\text{（}b\ne 0\text{）}$に対して，次の問いに答えよ．

(1)　$2$次方程式$x^2-(a+c)x+ac-b^2=0$は異なる$2$つの実数解をもつことを示せ．

(2)　(1)の$2$つの実数解を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．$x$についての恒等式

$(x+p)(x-\alpha )-(x+q)(x-\beta )=1$

が成り立つとき，定数$p\text{，}q$を$\alpha \text{，}\beta$を用いて表せ．

(3)　$2$次の正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)$と(2)の$\alpha \text{，}p$に対して，$B=(A+pE)(A-\alpha E)$とおく．このとき，$B^2=B$であることを示せ．ただし，$E$は$2$次の単位行列である．

【２】　点${\mathrm{P}}_0$を$xy$平面の原点とし，点${\mathrm{P}}_1$の座標を$(1,0)$とする．点${\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{P}}_4\text{，}\cdots$を次のように定める．

　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，点${\mathrm{P}}_{n-1}$を中心として点${\mathrm{P}}_n$を反時計回りに$\theta \text{（}0<\theta <\pi \text{）}$だけ回転させた点を${\mathrm{Q}}_n$とし，点${\mathrm{P}}_{n+1}$を$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{Q}}_n}=\overrightarrow{{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}}$となるようにとる．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$に対して，

$\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}\cos k\theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}\{-\sin ({\displaystyle \frac{2k-1}{2}}\theta )+\sin ({\displaystyle \frac{2k+1}{2}}\theta \left)\right\}$

$\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}\sin k\theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}\{\cos ({\displaystyle \frac{2k-1}{2}}\theta )-\cos ({\displaystyle \frac{2k+1}{2}}\theta \left)\right\}$

が成り立つことを示せ．

(2)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，

$1+\cos \theta +\cdots +\cos n\theta ={\displaystyle \frac{1}{2\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}}}\{\sin ({\displaystyle \frac{2n+1}{2}}\theta )+\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}\}$

$\sin \theta +\cdots +\sin n\theta ={\displaystyle \frac{1}{2\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}}}\{-\cos ({\displaystyle \frac{2n+1}{2}}\theta )+\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}\}$

が成り立つことを示せ．

(3)　点${\mathrm{P}}_n$の座標を$(x_n,y_n)$とおくとき，$x_n$および$y_n$を求めよ．

(4)　すべての点${\mathrm{P}}_n\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を通る円の方程式を求めよ．

【３】　実数を成分とする$2$次の正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$に対して，$T(A)=a+d\text{，}\Delta (A)=ad-bc$と定める．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$とする．

(1)　等式$A^2-T(A)A+\Delta (A)E=O$が成り立つこと（ハミルトン・ケーリーの定理）を示せ．

(2)　実数を成分とする$2$次の正方行列$X\text{，}Y$が$XY-YX=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$を満たすとし，$\alpha =T(X)\text{，}\beta =\Delta (X)$とおく．

(a)　$X^{2}Y-Y{X}^2$を$\alpha$を用いて表せ．

(b)　${(X^{2}Y-Y{X}^2)}^2=E\text{，}{X}^4+X^2+E=O$が成り立つとき，$\alpha \text{，}\beta$の値を求めよ．