2014　信州大学　前期　経済，理，医MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=2\cos x-\cos 2x$の$0\leqq x\leqq \pi$における最大値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　関数$y={({\log }_{0.5}x)}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}({\log }_{0.5}x)+{\displaystyle \frac{1}{2}}$の$0.5\leqq x\leqq 2$における最大値と最小値を求めよ．

【２】　次の$3$つの条件によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(ⅰ)　$a_1=0$

(ⅱ)　$a_1<a_2<\cdots <a_n<a_{n+1}<\cdots$

(ⅲ)　放物線$y=x^2$と，その上の点$(a_n,{a_n}^2)$における接線と，直線$x=a_{n+1}$とで囲まれる図形の面積が$8^n$になる．

【３】　$3$個の玉が横一列に並んでいる．コインを$1$回投げて，それが表であれば，そのときに中央にある玉とその左にある玉を入れ替える．また，それが裏であれば，そのときに中央にある玉とその右にある玉とを入れ替える．この操作を繰り返す．

(1)　最初に中央にあったものが$n$回後に中央にある確率を求めよ．

(2)　最初に右端にあったものが$n$回後に右端にある確率を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,1,1)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(2,s,t)\text{，}$$\overrightarrow{c}=(p,q,2)$が次の条件をみたすような，$s\text{，}$$t\text{，}$$p\text{，}$$q$の値を求めよ．

(ⅰ)　$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|$

(ⅱ)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$60\mathrm{°}$

(ⅲ)　$\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に直交する．

【４】　次の問いに答えよ．

(2)　$n$を$0$以上の整数とする．$n+1$個の自然数$2^0\text{，}{2}^1\text{，}\cdots \text{，}{2}^n$の中に，最上位の桁の数字が$1$であるものはいくつあるか．ただし，$x$を越えない最大の整数を表す記号$[x]$を用いて解答してよい．

注：例えば$2014$の最上位の桁の数字は$2$であり，$14225$の最上位の桁の数字は$1$である．

【５】　$a$を正の数とする．このとき，次の関係式をみたす関数$f(x)$を求めよ．

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{a}}}f(t)\cos (at-2ax)dt+1$

【６】　関数$f(x)$は，$f^{″}(x)<0$をみたすとする．$t\geqq 0$のとき，次の(1)，(2)の不等式が成り立つことを示せ．

(1)　$f(0)+f^{\prime }(t)t\leqq f(t)\leqq f(0)+f^{\prime }(0)t$

(2)　${\displaystyle \frac{f(0)t+f(t)t}{2}}\leqq {\displaystyle {\int }_0^t}f(u)du\leqq f(0)t+{\displaystyle \frac{f^{\prime }(0)}{2}}{t}^2$

【７】　すべての実数$x\text{，}y$に対して不等式

${\displaystyle \frac{1}{1+x^2+{(y-x)}^2}}\leqq {\displaystyle \frac{a}{1+x^2+y^2}}$

が成り立つとき，$a$の値の範囲を求めよ．