2014　名古屋工業大学　後期MathJax

2014　名古屋工業大学　後期

易□　並□　難□

【１】　 $k$ を正の定数とする．点 $P (a, b)$ を通る $2$ 曲線

$C_{1} ： y = \sqrt{\frac{x - k}{2}} ， C_{2} ： x = - 2 y^{2} + 12 y$

が $P$ において接線を共有している．

(1)　 $k ， a ， b$ の値を求めよ．

(2)　曲線 $C_{1} ， C_{2}$ および $x$ 軸で囲まれる部分を $D$ とする． $D$ の面積 $S$ を求めよ．

(3)　(2)の $D$ を $y$ 軸のまわりに $1$ 回転させて得られる立体の体積 $V$ を求めよ．

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【２】　点 $A (0, 6) ， B (3 \sqrt{3}, 3)$ を両端とする曲線 $C$ が

${\begin{cases} x = 5 \sin θ - \sin 5 θ \\ y = 5 \cos θ + \cos 5 θ \end{cases} (0 ≦ θ ≦ \frac{π}{3})$

によって定義されている．点 $P (x, y)$ は曲線 $C$ 上を $A$ から $B$ まで動く．

(1)　点 $P$ の $x$ 座標の値は $θ$ に関して単調増加であることを示せ．

(2)　点 $P$ の $x$ 座標の値の範囲を求めよ．

(3)　端点 $A ， B$ とは異なる点 $P$ における曲線 $C$ の接線が直線 $AB$ と平行になるとき，点 $P$ の座標を求めよ．

(4)　直線 $AB$ と曲線 $C$ によって囲まれる部分の面積 $S$ を求めよ．

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【３】　数列 ${a_{n}}$ は次の条件をみたしている．

(ⅰ)　 $a_{n}$ は $0 ≦ a_{n} < 2^{n}$ をみたす整数である．

(ⅱ)　 $b_{n} = \frac{3 a_{n} + 2}{2^{n}}$ は整数である．

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　 $a_{1} ， a_{2}$ を求めよ．

(2)　 $1 ≦ b_{n} ≦ 3$ であることを示せ．

(3)　 $b_{n + 2} - b_{n}$ が $3$ の整数倍であることを示せ．

(4)　数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

(5)　数列 ${S_{n}}$ を

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{2 n} \frac{a_{k + 1} - a_{k}}{4^{k}}$

によって定義する．極限 $\lim_{n \to \infty} S_{n}$ を求めよ．

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【４】　座標空間内に $4$ 点

$A (- 3, 1, 2) ， B (2, - 1, 2) ， C (2, 1, 0) ， D (2, 5, 5)$

をとり， $\vec{CA} = \vec{a} ， \vec{CB} = \vec{b}$ とおく． $3$ 点 $A ， B ， C$ を通る平面上の点で $D$ との距離が最小の点を $E$ とする．

(1)　 $\vec{CE} = s \vec{a} + t \vec{b}$ をみたす実数 $s ， t$ および点 $E$ の座標を求めよ．

(2)　直線 $CE$ と $AB$ の交点を $F$ とするとき， $\frac{CE}{EF}$ および $\frac{AF}{FB}$ を求めよ．

(3)　直線 $BE$ と $AC$ の交点を $G$ とするとき， $\frac{AG}{GC}$ を求めよ．

(4)　 $G$ を(3)で定めた点とし，四面体 $ABCD$ の体積を $V ，$ 四面体 $GECD$ の体積を $W$ とする． $\frac{W}{V}$ を求めよ．