2014　愛知教育大学　前期MathJax

【１】　円$C\text{：}{x}^2+y^2=1$上に$2$点$\mathrm{N}(0,1)\text{，}\mathrm{S}(0,-1)$をとる．また$x$軸上に点$\mathrm{P}(a,0)\text{（}a>1\text{）}$をとり，直線$\mathrm{NP}$と円$C$との交点で，点$\mathrm{N}$とは異なる点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，直線$\mathrm{SQ}$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

問１　直線$\mathrm{NP}$の方程式を求め，点$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．

問２　直線$\mathrm{SQ}$の方程式を求め，点$\mathrm{R}$の座標を$a$を用いて表せ．

問３　銭分$\mathrm{PR}$の長さが$2$になるときの$a$の値を求めよ．

【２】　平面上の四角形$\mathrm{ABCD}$において，$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$が次の(a)，(b)，(c)の条件をみたしているとする．

(a)　$\mathrm{AB}=1\text{，}\mathrm{BC}=5\text{，}\mathrm{CD}=6\text{，}\mathrm{DA}=10$

(b)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{D}$は同じ直線上にはない．

(c)　$3$点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$は同じ直線上にはない．

また，$\angle \mathrm{DAB}=\alpha \text{，}\angle \mathrm{BCD}=\beta$とし，線分$\mathrm{BD}$の長さを$d$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

問１　$d^2$を$\alpha$を用いて表せ．

問２　$d^2$を$\beta$を用いて表せ．

問３　$\alpha \text{，}\beta$がみたす関係式を求めよ．

問４　四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接するとき，$\alpha \text{，}\beta$と円の半径$R$を求めよ．

【３】　$0\leqq t\leqq 2\pi$とする．座標平面上の$2$点$\mathrm{P}(2\cos t,2\sin t)\text{，}\mathrm{Q}(\sin 2t,\cos 2t)$に対して，以下の問いに答えよ．

問１　${\mathrm{PQ}}^2$を$t$を用いて表せ．

問２　$\mathrm{PQ}$の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．

【４】　座標平面上に点$\mathrm{A}(0,0)\text{，}\mathrm{B}(2,0)\text{，}\mathrm{C}(1,\sqrt{3})$を頂点とする正三角形$\mathrm{ABC}$をとる．また，点$(-1,0)\text{，}(0,0)\text{，}(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$を頂点とする正三角形を$x$軸の正の方向に$t$だけ平行移動して得られる正三角形$\mathrm{PQR}$を考える．ただし，$t$は$0$以上の実数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

問１　$▵\mathrm{ABC}$と$▵\mathrm{PQR}$の共通部分の面積を$f(t)$とするとき，関数$y=f(t)$のグラフの概形を描け．

問２　曲線$y=f(t)$と$t$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【５】　座標空間内の$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)$に対して線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{AB}$を$q:(1-q)$の比に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{BC}$を$r:(1-r)$の比に内分する点を$\mathrm{R}\text{，}$線分$\mathrm{CO}$を$s:(1-s)$の比に内分する点を$\mathrm{S}$とする．ただし，$0<q<1\text{，}0<r<1\text{，}0<s<1$である．

　$4$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$が同一平面上にあるとき，$s$を$q\text{，}r$を用いて表せ．

【６】　図のような，底面の半径が$r\text{，}$高さが$h$の円錐があり，そこに半径$5$の球が内接しているとする．ただし，$h>10$とする．以下の問いに答えよ．

問１　この円錐の底面の半径$r$を$h$を用いて表せ．

問２　この円錐の表面積を最小にする$h$の値を求めよ．

【７】　$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．座標平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円$C$上の点$\mathrm{P}(\cos t,\sin t)$と，$x$軸上の点$\mathrm{Q}(\cos t,0)$をとり，点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$l$とする．また，点$\mathrm{Q}$から$l$に下ろした垂線と$l$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

問１　接線$l$の方程式を求めよ．

問２　$\mathrm{PR}$と$\mathrm{QR}$を$t$を用いて表せ．

問３　問２で求めた$\mathrm{PR}$を$x(t)\text{，}\mathrm{QR}$を$y(t)$とする．点$\mathrm{S}(x(t),y(t))$の軌跡を求めよ．

【８】　$A=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

問１　自然数$n$に対して，${(AB)}^n$を推測し，それを数学的帰納法で証明せよ．

問２　自然数$n$に対して，${(BA)}^n$を求めよ．

【９】　$1\leqq t\leqq e$とする．定積分$S(t)={\displaystyle {\int }_1^e}|x-t|{\displaystyle \frac{\log x}{x}}dx$を最小にする$t$の値を求めよ．ただし，$\log$は自然対数を表し，$e$は自然対数の底を表す．

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