2014　滋賀大学　前期MathJax

【１】　$m$を正の定数とし，放物線$C\text{：}y=x^2$上に点$\mathrm{P}(a,a^2)$をとる．ただし，${\displaystyle \frac{m}{2}}<a<m$とする．$\mathrm{P}$を通り傾きが$m$の直線を$l_1\text{，}\mathrm{P}$を通り傾きが$2m$の直線を$l_2$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C$と$l_1$で囲まれた図形の面積を$S_1\text{，}C$と$l_2$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1$と$S_2$を$a$と$m$を用いて表せ．

(2)　$S_1$が$S_2$の$8$倍となるとき，$a$を$m$を用いて表せ．

(3)　$a$を変化させたとき，$S_1+S_2$の最小値とそのときの$a$の値を$m$を用いて表せ．

【２】　$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を以下のように定める．

$a_1=a\text{，}{a}_{2n}=a_{2n-1}+d\text{，}{a}_{2n+1}=r{a}_{2n}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_1=a\text{，}{b}_{2n}=r{b}_{2n-1}\text{，}{b}_{2n+1}=b_{2n}+d\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

ただし，$a\ne 0\text{，}r\ne 0\text{，}r\ne 1$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a=3\text{，}d=1\text{，}r=2$のとき，$b_9$を求めよ．

(2)　数学的帰納法を用いて，すべての自然数$n$に対して次が成り立つことを示せ．

$a_{2n}=a{r}^{n-1}+{\displaystyle \frac{d(r^n-1)}{r-1}}$

(3)　すべての自然数$n$に対して$b_{2n+1}-a_{2n}={\displaystyle \frac{2}{5}}a{r}^n$が成り立つとき，$r$の値を求めよ．

【３】　次のようなゲームを行い，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$人の中から$1$人の勝者を決める．赤玉$3$個，白玉$5$個，黒玉$7$個が入った袋から$4$個の玉を同時に取り出し，もっとも多く取り出された玉が赤玉ならば$\mathrm{A}\text{，}$白玉ならば$\mathrm{B}\text{，}$黒玉ならば$\mathrm{C}$の勝ちとする．ただし，赤玉と白玉が$2$個ずつ，あるいは赤玉と黒玉が$2$個ずつ取り出されたときは$\mathrm{A}$の勝ち，白玉と黒玉が$2$個ずつ取り出されたときは$\mathrm{B}$の勝ちとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　取り出された$4$個の玉が，赤玉$1$個，白玉$1$個，黒玉$2$個である確率を求めよ．

(2)　このゲームを$1$回行ったとき，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が勝つ確率$p_{\mathrm{A}}\text{，}{p}_{\mathrm{B}}\text{，}{p}_{\mathrm{C}}$をそれぞれ求めよ．

(3)　このゲームを$6$回繰り返し行ったとき，$\mathrm{A}$が$1$回，$\mathrm{B}$が$2$回，$\mathrm{C}$が$3$回勝つ確率を$p_{\mathrm{A}}\text{，}{p}_{\mathrm{B}}\text{，}{p}_{\mathrm{C}}$を用いて表せ．

【４】　$k$を正の定数とする．円$C\text{：}{x}^2+y^2-4x-2y+1=0$と共有点をもたない直線$l\text{：}y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+k$について，次の問いに答えよ．

(1)　$k$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$l$上の$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の座標をそれぞれ$(2,k-1)\text{，}(2k-2,1)$とする．点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，$▵\mathrm{PAB}$の重心$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．

(3)　(2)で求めた$\mathrm{Q}$の軌跡と$C$がただ$1$つの共有点をもつとき，$k$の値を求めよ．