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2014-10631-0101
2014 奈良女子大学 前期
理,生活環境(情報通信科学コース)学部
易□ 並□ 難□
【1】 以下の問いに答えよ.
(1) x についての 2 次方程式 x 2+a⁢ x+b= 0 の異なる実数解の個数が 2 個であるとき,実数 a , b のみたす条件を求めよ.
(2) x についての 4 次方程式 x 4+a⁢ x2+ b=0 の異なる実数解の個数が 4 個であるとき,実数 a , b のみたす条件を求めよ.
(3) x についての 4 次方程式 x4+a ⁢x2 +b=0 の異なる実数解の個数が 2 個であるとき,実数 a , b のみたす条件を求めよ.
(4) a ,b が(3)の条件をみたすとき,点 ( a,b ) の存在する領域を a b 平面上に図示せよ.
2014-10631-0102
【2】 r を 0 <r<2 をみたす実数とする.座標平面上の 4 点 A ( 2-r,2 -r) ,B ( -2+r, 2-r) ,C (- 2+r,- 2+r ), D (2 -r,-2 +r) を頂点とする正方形を考える.この正方形 ABCD の周上を動く点を P とし, P を中心とする半径 r の円を O とする.以下の問いに答えよ.
(1) 点 P が線分 AB 上を A から B まで動くとき,円 O の周および内部が通過してできる図形の面積を求めよ.
(2) 点 P が正方形 ABCD の周上を一周するとき,円 O の周および内部が通過してできる図形の面積 S を求めよ.
(3) (2)で求めた S を最大にする r の値を求めよ.
2014-10631-0103
【3】 関数 f ⁡(x )=4 ⁢sin⁡x +2⁢cos ⁡2⁢x +1 ( 0≦ x≦2⁢ π ) について,以下の問いに答えよ.
(1) f⁡( x) の極値を求めよ.
(2) 定積分 ∫ 02⁢ π f⁡( x)⁢ dx を求めよ.
(3) 定積分 ∫02 ⁢π |f⁡ (x) |⁢ dx を求めよ.
2014-10631-0104
生活環境(情報通信科学コースを除く)学部
【4】 1 辺の長さが 1 の正四面体 OABC において,辺 OA を x :(1 -x) に内分する点を P , 辺 OB の中点を M とする.以下の問いに答えよ.
(1) CM→ を OB → と OC → を用いて表せ.
(2) 直線 CM 上に, CQ→ =y⁢ CM→ となる点 Q をとる. PQ→ と CM → が垂直であるとき, y を x を用いて表せ.
(3) x が 0 <x<1 の範囲を動くとき,三角形 CMP の面積の最小値を求めよ.
2014-10631-0105
【5】 三角形 ABC を AB =AC かつ AB >BC である二等辺三角形とする.辺 AB 上の点 D を,三角形 ABC と三角形 CDB が相似となるようにとる.三角形 ABC の外心を O , 三角形 ADC の外心を P とする.以下の問いに答えよ.
(1) 点 P は三角形 ADC の外部にあることを示せ.
(2) 四角形 AOCP において, ∠AOC= ∠APC であることを示せ.
(3) 三角形 CDB の外心は,三角形 ADC の外接円の周上にあることを示せ.
2014-10631-0106
【6】 6 枚のカードに, 1 から 6 までの番号がつけられている.どのカードも一方の面が白色,もう一方の面が赤色である.はじめに,すべてのカードの白色の面を上にして番号順にならべる.次の操作をくり返し行う.
1 個のさいころを投げる.出た目の数が x であるとき,
x の約数である番号のカードをすべて裏返す.
このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 1 回目の操作の後で,番号 2 のカードの赤色の面が上になっている確率を求めよ.
(2) 3 回目の操作の後で,赤色の面が上になっているカードが 2 枚である確率を求めよ.
(3) n 回目の操作の後で,すべてのカードの赤色の面が上になっているとする.このような n の最小値を求めよ.