2014　和歌山大学　前期MathJax

(1)　$n\geqq 1$に対して，$b_{n+1}<a_n<b_n$が成り立つことを示せ．

(2)　$8<{\displaystyle \sum _{k=1}^{40}}{b}_k<9$が成り立つことを示せ．

(1)　$t$を実数とする．$x$についての方程式$2^x+2^{-x}=t$の実数解の個数を調べよ．

(2)　$a$と$b$を実数とし，$x$についての方程式$4^x+4^{-x}+a(2^x+2^{-x})+b=0$が，ちょうど$3$個の実数解をもつとする．このとき，点$(a,b)$の存在する範囲を図示せよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を$\overrightarrow{x}\text{，}\overrightarrow{y}\text{，}\overrightarrow{z}$および$t$を用いて表せ．

(2)　$\angle \mathrm{QRS}=120\mathrm{°}$となるときの$t$の値を求めよ．

また，放物線$C\text{：}y=x^2$上の点$(a,a^2)$における接線を$l$とし，$l$に平行で点$(b,b^2)$を通る直線を$m$とする．さらに，放物線$C$と直線$m$で囲まれた部分の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　直線$m$の方程式を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$S$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(3)　$S$の期待値を求めよ．

(1)　$\tan \alpha \text{，}\tan \beta$および$S$をそれぞれ$t$を用いて表せ．

(2)　$\beta -\alpha$が最大となるときの$t$の値を求めよ．

$A^2=E\text{，}{B}^2=-E\text{，}AB+BA=O$

ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　次の(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)が成り立つことを示せ．

(ⅰ)　${(A+B+AB)}^2=E$

(ⅱ)　$A+B\ne O$

(ⅲ)　$AB\ne E$

(2)　$(A+B)C=O$となる零行列でない$2$次正方行列$C$が存在することを示せ．