2014　島根大学　前期MathJax

(1)　$n=2$のとき，ゲームが終わったあとの持ち点のとりうる値をすべて求めよ．

(2)　$n=4$のとき，ゲームが終わったあとの持ち点が$1$点以下になる確率を求めよ．

(3)　$n=k$のとき，ゲームが終わったあとの持ち点の期待値を$k$を用いて表せ．

(1)　$2$次方程式$x^2+ax+a+3=0$が正の実数解のみをもつような$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　放物線$y=f(x)$の頂点の$y$座標を$g(a)$とする．このとき，$a$が(1)で求めた範囲を動くとき，$g(a)$の最大値を求めよ．

(1)　直線$\mathrm{AB}$の方程式を$a$と$b$を用いて表せ．

(2)　放物線$C$と直線$\mathrm{AB}$で囲まれた図形の面積$S$を$a$と$b$を用いて表せ．

(3)　$a<t<b$の範囲で点$\mathrm{P}(t,t^2)$が動くとき，放物線$C$と直線$\mathrm{AP}$で囲まれた図形の面積を$S_1(t)\text{，}$放物線$C$と$2$直線$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AP}$で囲まれた図形の面積を$S_2(t)$とする．このとき，等式$S_2(t)=7S_1(t)$をみたす$t$を$a$と$b$を用いて表せ．

(1)　楕円$C$と共有点をもつ直線$l$の方程式をすべて求めよ．

(2)　楕円$C$と直線$l$が接するとき，その接点の座標を求めよ．

(3)　楕円$C$と直線$l$が第一象限で接するとき，$C$と$l$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

「数字$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$の中から無作為に$1$つの数字$m$を選ぶ．$m=1$ならば，箱$Y\text{，}Z$にある玉をそれぞれ箱$Z\text{，}Y$に移す．$m=2$ならば，箱$X\text{，}Z$にある玉をそれぞれ箱$Z\text{，}X$に移す．$m=3$ならば，箱$X\text{，}Y$にある玉をそれぞれ箱$Y\text{，}X$に移す．$m=4$ならば，箱$X\text{，}Y\text{，}Z$にある玉をそれぞれ$Y\text{，}Z\text{，}X$に移す．$m=5$ならば，箱$X\text{，}Y\text{，}Z$にある玉をそれぞれ箱$Z\text{，}X\text{，}Y$に移す．」

　この操作を$n$回繰り返したあとに$3$つの玉が最初の状態に戻っている確率を$p_n$とする．箱$X\text{，}Y\text{，}Z$にそれぞれ玉$x\text{，}y\text{，}z$が入っている状態を$(x,y,z)$と表す．たとえば，最初の状態は$(a,b,c)$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$1$回目の操作を行ったあとの起こりうる状態をすべて挙げ，$p_1\text{，}{p}_2$を求めよ．

(2)　$n$回目の操作を行ったあとの状態が最初の状態$(a,b,c)$となっていない確率を$q_n$とする．$n\geqq 1$のとき，$p_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{5}}{q}_n$が成り立つことを示せ．

(3)　$p_n$を求めよ．

(1)　関数$y=f(x)$の凹凸と漸近線を調べて，そのグラフの概形をかけ．

(2)　$k$を正の定数とする．関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$がちょうど$2$個の共有点をもつとき，$k$の値を求めよ．

(3)　$k$を(2)で求めた定数とする．このとき，$x\geqq 0$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(1)　$a_2$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．

(3)　$a_n\geqq \sqrt{3}$を示せ．

(4)　$a_n-\sqrt{3}\leqq {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-1}(2-\sqrt{3})$を示し，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

$X=\left(\begin{array}{cc}3x-1& 2x-1\\ -3x+2& -2x+2\end{array}\right)$

を定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　自然数$n$に対して$X$の$n$乗を$X^n=\left(\begin{array}{cc}{P}_n(x)& Q_n(x)\\ R_n(x)& S_n(x)\end{array}\right)$とおく．このとき，すべての$n$に対して，$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$Q_n(x)=0$であることを示せ．また，すべての$n$に対して，$x={\displaystyle \frac{2}{3}}$のとき，$R_n(x)=0$であることを示せ．

(2)　$a$と$b$は定数とする．このとき，$X^2+aX+bE=O$をみたす実数$x$が存在するための$a\text{，}b$の条件を求めよ．

(3)　$X^3=O$をみたす実数$x$は存在しないことを証明せよ．

(1)　$a=b=c$のとき，$n$は$3$の倍数であることを示せ．

(2)　$n=3$のとき，自然数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ．