2014　広島大学　後期MathJax

【１】　双曲線

$H\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{3}}=1$

について，次の問いに答えよ．ただし，$p>0$とする．

(1)　$y$軸上の点$\mathrm{A}(0,p)$を中心とし，双曲線$H$とちょうど$2$点を共有する円の面積$S_1$を求めよ．

(2)　$y$軸上の点$\mathrm{A}(0,p)$を中心とし，双曲線$H$の$2$つの漸近線と接する円の面積$S_2$を求めよ．

(3)　$p$が$p>0$の範囲を動くとき，${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$の取り得る値の範囲を求めよ．

【２】　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．座標平面上に$4$点

$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}\mathrm{C}(\cos 2\theta ,\sin 2\theta )\text{，}\mathrm{D}(\cos 3\theta ,\sin 3\theta )$

をとり，

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}t=\cos \theta$

とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}$および$t$を用いて表せ．

(2)　$2$直線$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}$および$t$を用いて表せ．

(3)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$の大きさを$t$を用いて表せ．

【３】　数$0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$が$1$つずつ書かれた$n+1$枚のカードを$2$組用意する．これらのカードの組のそれぞれから$1$枚ずつ選び，選ばれたカードに書かれた数を$A\text{，}B$とする．ただし，どのカードが選ばれることも同様に確からしいとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$のとき，$|A-B|\leqq k$となる確率を求めよ．

(2)　$|A-B|$の期待値$E_n$を求めよ．

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{E_n}{n}}$を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　$x>0$のとき，$\log x\leqq {\displaystyle \frac{2\sqrt{x}}{e}}$を示せ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(2)　(1)を用いて，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x^2}}=0$を示せ．

(3)　$a$を実数とするとき，方程式$e^{a{x}^2}=x$の異なる実数解の個数を調べよ．

【５】　定数$k>1$に対して，閉区間$[0,\pi ]$で定義された関数

$f(x)=k\sin {\displaystyle \frac{x}{k}}-\sin x$

を考える．次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$は閉区間$[0,\pi ]$で単調に増加することを示せ．

(2)　次の定積分$I(k)$を求めよ．

$I(k)={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(x)dx$

(3)　極限値$\underset{k\to \infty }{\lim }I(k)$を求めよ．

【１】　$a\text{，}b$は定数で，$a<0<b$とする．座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{P}(a,1)\text{，}\mathrm{Q}(b,1)$および行列

$A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 4\end{array}\right)$

を考える．$A$の表す$1$次変換によって点$\mathrm{P}$は直線$\mathrm{OP}$上の点$\mathrm{S}$に移り，点$\mathrm{Q}$は直線$\mathrm{OQ}$上の点$\mathrm{T}$に移る．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OS}}=s\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OT}}=t\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$とおいて，$a\text{，}b\text{，}s\text{，}t$を求めよ．

(2)　(1)で求めた$a\text{，}b$に対して

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)=u\left(\begin{array}{c}a\\ 1\end{array}\right)+v\left(\begin{array}{c}b\\ 1\end{array}\right)$

となるような$u\text{，}v$を求めよ．

(3)　(2)の結果を利用して$A^n\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)$を$n$で表せ．ただし，$n$は自然数とする．

(4)　自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を正の定数，$t$を$0<t<1$を満たす実数とする．$xyz$空間の点$\mathrm{A}(a,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,b,0)\text{，}$$\mathrm{C}(0,0,c)\text{，}$$\mathrm{D}(a,b,c)$を頂点とする四面体$\mathrm{ABCD}$を考え，平面$z=tc$と辺$\mathrm{AC}\text{，}$$\mathrm{AD}\text{，}$$\mathrm{BD}\text{，}$$\mathrm{BC}$の交点をそれぞれ$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{EF}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{GH}}$を$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$t$を用いて表せ．

(2)　四角形$\mathrm{EFGH}$の面積$S(t)$を求めよ．

(3)　$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，(2)で求めた$S(t)$の最大値$M$を求めよ．また，$M<{\displaystyle \frac{1}{4}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{OD}}\right|}^2$を示せ．ただし，$\mathrm{O}$は$xyz$空間の原点を表す．

【３】　${\displaystyle \frac{1}{e}}\leqq x\leqq e$で定義された関数$f(x)=x\log x$に対して，次の問いに答えよ．ここで$\log x$は$x$の自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

(1)　$y=f(x)$の増減，およびグラフの凹凸を調べて，グラフをかけ．

(2)　関数$f(x)$の逆関数$f^{-1}(x)$が存在する．その理由を述べよ．また逆関数$f^{-1}(x)$の定義域と値域を求めて，$y=f^{-1}(x)$のグラフをかけ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^e}{f}^{-1}(x)dx$を求めよ．

【４】　関数$f(x)=e^{-2x}{\sin }^{2}x$に対して，次の問いに答えよ．ここで$e$は自然対数の底である．

(1)　$0<x<2\pi$において，$f(x)$の増減を調べ，$f(x)$が極大となるような$x$の値および$f(x)$の極大値をすべて求めよ．

(2)　$x>0$において$f(x)$が極大となるような$x$の値を小さい方から順に$p_1\text{，}{p}_2\text{，}{p}_3\text{，}\cdots$とする．このとき$p_k\text{，}f(p_k)\text{，}$および${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}f(p_k)$を求めよ．

(3)　$a\text{，}b$を定数とし，$e^{-2x}(a\cos 2x+b\sin 2x)$が$e^{-2x}\cos 2x$の原始関数であるとする．$a\text{，}b$を求めよ．

(4)　$n$を自然数とする．$0\leqq x\leqq n\pi$において$x$軸と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積$A_n$を求めよ．また極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n$を求めよ．

【５】　多人数でじゃんけんをすると通常のじゃんけんのルールの下ではあいこになることが多いので，次のような新ルールを考える．

(ⅰ)　グー，チョキ，バーのうち$1$種類または$2$種類の手が出たときは，通常のじゃんけんのルールに従う．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$君を含む$4$人で$1$回のじゃんけんをする．$\mathrm{A}$君はグーを出し，残り$3$人の各人はグー，チョキ，パーをそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}$の確率で出すものとする．$\mathrm{A}$君$1$人だけが勝つ確率を，通常のじゃんけんのルールを適用した場合と新ルールを適用した場合のそれぞれについて求めよ．

(2)　通常のルールの下で$n$人が$1$回のじゃんけんをするとき，$1$人だけが勝つ確率を求めよ．ただし，各人はグー，チョキ，パーをそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}$の確率で出すものとする．

(3)　$n\geqq 4$とする．新ルールの下で$n$人が$1$回のじゃんけんをするとき，$1$人だけが勝つ確率を求めよ．ただし，各人はグー，チョキ，パーをそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}$の確率で出すものとする．