2014　徳島大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$2$次方程式$x^2+2mx+m^2+2m-8=0$が異なる$2$つの負の解をもつとき，定数$m$の範囲を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　数列$\{a_n\}$は初項$1\text{，}$公比$r\text{（}0<r<0\text{）}$の等比数列である．数列$\{b_n\}$は$a_{n+1}={\displaystyle \frac{{(a_n)}^{\frac{4}{3}}}{\sqrt{b_n}}}$を満たす．数列$\{b_n\}$の一般項および無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{b}_n$の和を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=x-{\displaystyle \frac{2}{x}}$のグラフの概形をかけ．

(2)　不等式$|x-{\displaystyle \frac{2}{x}}|<1$を解け．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$において$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=1\text{，}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}={\displaystyle \frac{2}{3}}$が成り立つとき，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=\alpha \text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\beta$として次の問いに答えよ．

(1)　$s\text{，}$$t$を実数として，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$と表される点$\mathrm{H}$を，$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$が$\overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$と垂直になるようにとる．このとき，$\alpha \text{，}$$\beta$を$s\text{，}$$t$の式で表せ．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．(1)の点$\mathrm{H}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{HG}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{c}$となるとき，$\alpha \text{，}$$\beta$の値を求めよ．

(3)　$\alpha \text{，}$$\beta$が(2)で求めた値をとるとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{CH}}\right|$の値を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　等式${\sin }^{4}x{\cos }^{2}x+{\cos }^{4}x{\sin }^{2}x={\displaystyle \frac{1}{4}}{\sin }^{2}2x$が成り立つことを示せ．

(2)　$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}-t$とおくことにより，${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\sin }^{4}x{\cos }^{2}xdx={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\cos }^{4}t{\sin }^{2}tdt$が成り立つことを示せ．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\sin }^{4}x{\cos }^{2}xdx$の値を求めよ．

【４】　$x_0=1\text{，}{y}_0=0$とする．$n$が自然数のとき，座標平面上の点${\mathrm{P}}_{n-1}(x_{n-1},y_{n-1})$は行列$\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{2}{3}}\\ {\displaystyle \frac{2}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$の表す$1$次変換によって点${\mathrm{P}}_n(x_n,y_n)$に移されるとする．点${\mathrm{P}}_{n-1}$と点${\mathrm{P}}_n$の距離を$l_n$とする．

(1)　$l_1$を求めよ．

(2)　$l_n$を$x_{n-1}\text{，}{y}_{n-1}$の式で表せ．

(3)　${\displaystyle \frac{l_{n+1}}{l_n}}$の値を求めよ．

(4)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{l}_n$の和を求めよ．

【１】　$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{3}{4}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{4}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$とし，行列$A$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$によって点$\mathrm{P}(0,1)$が点${\mathrm{P}}_1(x_1,y_1)$に移されるとする．さらに，$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，点${\mathrm{P}}_n(x_n,y_n)$が$f$によって点${\mathrm{P}}_{n+1}(x_{n+1},y_{n+1})$に移されるとする．

(1)　すべての自然数$n$について，点${\mathrm{P}}_n$は直線$x+y=1$上にあることを証明せよ．

(2)　$x_{n+1}$を$x_n$の式で表せ．さらに，数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$n$を限りなく大きくするとき，点${\mathrm{P}}_n$が近づいていく点の座標を求めよ．

【２】　$0<a<1$とする．曲線$y=\left|x\right|x$を$C_1$とし，曲線$y=a{x}^2+x-a$を$C_2$とする．

(1)　$C_1$と$C_2$の共有点のうち，第$3$象限にある共有点の座標を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$の共有点が$2$個であるとき，$a$の値を求めよ．

(3)　$a$が(2)で求めた値をとるとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　$n$枚のカードに$1$から$n$までの自然数がひとつずつ書かれている．異なるカードには異なる数が書かれている．これら$n$枚のカードを横一列に並べて，左端から$i$番目（$1\leqq i\leqq n$）のカードに書かれた数を$a_i$とする．

(1)　$n=5$のとき，$a_1<a_2<a_3$かつ$a_3>a_4>a_5$を満たすカードの並べ方の総数を求めよ．

(2)　$n\geqq 3$とする．次の条件(ⅰ)，(ⅱ)を満たすカードの並べ方の総数を$n$の式で表せ．ただし，(ⅱ)では，$k=2$のとき$a_1<a_2<\cdots <a_k$は$a_1<a_2$を表し，$k=n-1$のとき$a_k>a_{k+1}>\cdots >a_n$は$a_{n-1}>a_n$を表す．

(ⅰ)　$1<k<n$(ⅱ)　$a_1<a_2<\cdots <a_k$かつ$a_k>a_{k+1}>\cdots >a_n$

(3)　$n\geqq 4$とする．次の条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)を満たすカードの並べ方の総数を$n$の式で表せ．ただし，(ⅲ)のそれぞれの不等式は(2)と同様に，$p=2$のとき$a_1>a_2$を表し，$q=p+1$のとき$a_p<a_{p+1}$を表し，$q=n-1$のとき$a_{n+1}>a_n$を表す．

(ⅰ)　$1<p<q<n$(ⅱ)　$a_1=n$かつ$a_p=1$

(ⅲ)　$a_1>a_2>\cdots >a_p$かつ$a_p<a_{p+1}<\cdots <a_q$かつ$a_q>a_{q+1}>\cdots >a_n$

【４】　$p$を素数とする．初項，公差がともに$5p$の等差数列を$\{a_n\}$とする．数列$\{b_n\}$は公差が$p$の等差数列で${\displaystyle \sum _{n=1}^p}{a}_n=a_1+a_p+5{\displaystyle \sum _{n=1}^p}{b}_n$を満たす．

(1)　$b_1$を求めよ．

(2)　$p=2$のとき，${\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}$の値が自然数となるような$n$をすべて求めよ．

(3)　$p\geqq 3$とする．${\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}$の値が自然数となるような$p$と$n$の組$(p,n)$をすべて求めよ．