Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2014年度一覧へ
大学別一覧へ
高知大学一覧へ
2014-10821-0101
2014 高知大学 前期
数学II・数学B 教育学部
配点は70点
易□ 並□ 難□
【1】 空間ベクトル a→= (-1 ,3,- 2) , b →= (1, -1,0 ), c→ =a→ +t⁢ b→ とするとき,次の問いに答えよ.ただし, t は任意の正の実数とする.
(1) 内積 a→⋅ b→ と a→⋅ c→ を求めよ.
(2) a→ と c → が垂直になるときの t の値を求めよ.
(3) |c →| 2 を t で表せ.
(4) | c→ | の最小値とそのときの t の値を求めよ.
(5) | c→ |= |a → | となる t の値を求めよ.
2014-10821-0102
数学II・数学B 教育学部,
数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C 理学部・医学部医学科
理学部・医学部医学科は【1】
教育学部は60点,理学部・医学部医学科は100点
【2】 関数 f ⁡(x )=4 x+4 -x- 22+ x-2 2-x +2 について,次の問いに答えよ.
(1) t=2 x+2 -x とおいて, f⁡( x) を t で表せ.
(2) t の値の範囲を求めよ.
(3) 関数 f ⁡( x) の最小値とそのときの x の値を求めよ.
(4) 方程式 f ⁡(x )=0 を解け.
2014-10821-0103
配点60点
【3】 方程式 x2+ y2-2 ⁢x+6 ⁢y-6 =0 で表される図形を C とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 図形 C を図示せよ.
(2) 直線 2 ⁢x+3 ⁢y=k が,図形 C を 2 等分するような定数 k の値を求めよ.
(3) 図形 C と直線 2 ⁢x+3 ⁢y=k が異なる共有点を 2 個もつような定数 k の値の範囲を求めよ.
(4) 図形 C に接し,傾きが - 2 3 である直線の方程式を求めよ.
2014-10821-0104
【4】 関数 f ⁡(x )= x2-x -2⁢ |x | について,次の問いに答えよ.
(1) y=f⁡ (x ) のグラフをかけ.
(2) y=m⁢ x と y =f⁡( x) とが異なる 2 つの共有点をもつような m の値の範囲を求めよ.
(3) y=m ⁢x と y =f⁡( x) とが異なる 3 つの共有点をもつとき,これらにより囲まれる 2 つの部分の面積の和 S を m で表せ.
(4) S の最小値とそのときの m の値を求めよ.
2014-10821-0105
数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C 理学部,医学部医学科
配点は100点
【2】 n は 2 以上の自然数とする.平面上に距離が 1 である 2 点 O ,P 0 がある.中心が O で半径 1 の円周上に点 P n ( k=1 ,2 , ⋯ ,n ) を反時計回りに ∠ Pn O P0 = k⁢π n となるようにとる.三角形 Pk O Pn -1 の面積を T k と表し, Sn = ∑k= 1n Tk とおく.このとき,次の問いに答えよ.
(1) S2 を求めよ.
(2) Sn を n で表せ.
(3) limn →∞ Sn を求めよ.
(4) ek を線分 Pk -1 Pk の長さとおいて, E n= ∑k =1n en とする.このとき, Sn =1 2⁢ E n⁢sin ⁡ ( n-1) ⁢π2 ⁢n を示せ.
(5) limn →∞ En を求めよ.
2014-10821-0106
【3】 連続関数 f ⁡(x ) に対して,
g⁡( x)= ∫ 0x( f⁡( t)+ 2)⁢ sin⁡( x-t) ⁢dt
とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 定積分 ∫0x (t+2 )⁢sin ⁡(x -t)⁢ dt を求めよ.
(2) g⁡( x)= sin⁡x⁢ ∫ 0x( f⁡( t)+ 2)⁢ cos⁡t⁢ dt-cos ⁡x⁢ ∫0x ( f⁡( t)+ 2)⁢ dt を示せ.
(3) 関数 g ⁡(x ) の導関数 g ′⁡( x) は g ′⁡( x)= ∫ 0x (f⁡ (t) +2) ⁢cos⁡( x-t) ⁢dt となることを示せ.
(4) 関数 g ′⁡( x) の導関数 g ″⁡( x) は g ″⁡( x)= f⁡( x)- g⁡( x)+ 2 となることを示せ.
(5) 任意の実数 x に対して g⁡( x)= f⁡( x) が成り立つとき, f⁡( x) を求めよ.
2014-10821-0107
数学I・数学II・数学III・
数学A・数学B・数学C 理学部,医学部医学科
【4】 n を自然数とし, θ を cos ⁡θ=- 1 3 であるような実数とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) cos⁡( n+1) ⁢x=2 ⁢cos⁡n ⁢x⁢cos ⁡x-cos ⁡(n -1) ⁢x が成り立つことを示せ.
(2) cos⁡n ⁢θ は m3n という形の分数で表されることを示せ.ただし, m は整数で | m| は 3 を約数にもたない.
(3) (2)を用いて θπ は無理数であることを示せ.