2014　鹿児島大学　前期MathJax

【１】　次の各問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに

$\angle \mathrm{AEB}=2\angle \mathrm{ABE}=4\angle \mathrm{ACD}$

という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(2)　$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(3)　正の実数$x\text{，}y$に関する次の命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．

(a)　$x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．

(b)　$x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．

【２】　$r$を実数とする．$\{a_n\}$を

$a_1=1\text{，}{a}_2=3\text{，}{a}_{n+2}=r{a}_{n+1}-4a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められる数列とする．次の各問いに答えよ．

(1)　$r=0$の場合に，以下のそれぞれについて一般項$a_n$を$n$の式で表せ．

(ⅰ)　$n$が奇数のとき．

(ⅱ)　$n$が偶数のとき．

(2)　$r=5$の場合に，次の(a)，(b)に答えよ．

(a)　数列$\{b_n\}\text{，}\{c_n\}$を

$b_n=a_{n+1}-a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$c_n=a_{n+1}-4a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定めるとき，一般項$b_n\text{，}{c}_n$を求めよ．

(b)　一般項$a_n$を求めよ．

(3)　$r=4$のばあいに，次の(c)，(d)に答えよ．

(c)　数列$\{d_n\}$を

$d_n={\displaystyle \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}}-{\displaystyle \frac{a_n}{2^n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定めるとき，一般項$d_n$を求めよ．

(d)　一般項$a_n$を求めよ．

【３-１】　次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$は互いに異なる実数で，$a>1\text{，}b>1\text{，}c>1$とする．次の等式が成り立つとき，比${\log }_{2}a:{\log }_{2}b:{\log }_{2}c$を求めよ．

${\log }_{2}a-{\log }_{8}b={\log }_{2}b-{\log }_{8}c\text{，}{\displaystyle \frac{{\log }_{2}a}{{\log }_{8}b}}={\displaystyle \frac{{\log }_{2}b}{{\log }_{8}c}}$

【３-１】　次の問いに答えよ．

(2)　次の(a)，(b)，(c)に答えよ．

(a)　$t=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$とおく．このとき，$x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$と$x^3+{\displaystyle \frac{1}{x^3}}$をそれぞれ$t$についての多項式で表せ．

(b)　${\displaystyle \frac{2x^4-3x^3-5x^2-3x+2}{x^2}}$を$t$についての多項式で表せ．

(c)　$4$次方程式$2x^4-3x^3-5x^2-3x+2=0$の解を全て求めよ．

【３-２】　$0<a<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とする．曲線$y=\sin 2x$上の点$(a,\sin 2a)$における接線$l_1$と点$({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-a,\sin 2({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-a\left)\right)$における接線$l_2$が直交しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　$l_1$と$l_2$および曲線$y=\sin 2x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とで囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】　次の各問いに答えよ．

(1)　$\theta$を媒介変数として，

$\{\begin{array}{l}x=\theta -\sin \theta \\ y=1-\cos \theta \end{array}$

で表される曲線の$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$に対応する点における接線の方程式を求めよ．

(2)　$2$つの曲線$y=e^{-x}+1\text{，}y=3(e^{-x}-1)$の交点の座標を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(3)　(2)の$2$曲線と$y$軸で囲まれた図形を$D$とする．$D$の面積を求めよ．

(4)　(3)で与えられた$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【５-１】　次の各問いに答えよ．

(1)　座標平面上での原点を中心とする$150\mathrm{°}$の回転移動を表す行列を$P$とする．点$(x,y)$が$P$の表す移動によって，点$(2,4)$に移ったとする．このとき，点$(x,y)$を求めよ．

(2)　(1)で与えられた行列$P$を考える．$P^n=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．

(3)　以下の各命題の反例をあげよ．また，反例になっていることを示せ．ただし，$X\text{，}Y$は$2$次の正方行列とする．

(a)　$XY=YX$が成立する．

(b)　$XY=O$ならば，$X=O$または$Y=O$である．ただし，$O$は$2$次の零行列を表す．

(c)　$A$を逆行列$A^{-1}$をもつ$2$次の正方行列とする．このとき，$AX=Y$ならば，$X=Y{A}^{-1}$である．

【５-２】　$c$と$d$を$0$ではない実数とする．$C$と$D$をそれぞれ$s$と$t$を媒介変数として

$C\text{：}\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{c}{s^2+c^2}}\\ y={\displaystyle \frac{s}{s^2+c^2}}\end{array}D\text{：}\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{t}{t^2+d^2}}\\ y={\displaystyle \frac{d}{t^2+d^2}}\end{array}$

で与えられる曲線とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$C$と$D$は円から$1$点を覗いた曲線になっている．それぞれの円を表す方程式と除かれる点を求めよ．

(2)　$C$と$D$の交点の座標を求めよ．

(3)　$C$と$D$の交点における$C$の接線の方程式を求めよ．

【５-３】　$2$つの確率変数$X\text{，}Y$の確率分布を同時に考えた表（同時確率分布表）が右のように与えられている．ただし，$X\text{，}Y$は互いに独立であり，$0<a<1\text{，}0<b<1$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　表を完成させ，完成させた表を解答用紙に書け．

(2)　確率変数$W=X-Y$の平均$E(W)$を求めよ．

(3)　確率変数$Z={\displaystyle \frac{Y}{X}}$の確率分布表を作成し，$Z$の平均$E(Z)$を求めよ．

(4)　$E(Z)={\displaystyle \frac{9}{4}}\text{，}E(W)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$となる場合に，$Z$の分散$V(Z)$を求めよ．

【５-４】　次の各問いに答えよ．

(1)　数字$1$が書かれた玉$a$個（$a\geqq 1$）と，数字$2$が書かれた玉$1$個がある．これら$a+1$個の玉を母集団として，玉に書かれている数字を変量とする．このとき，この母集団から復元抽出によって大きさ$3$の無作為標本を抽出し，その玉の数字を取り出した順に$X_1\text{，}{X}_2\text{，}{X}_3$とする．標本平均$\bar{X}={\displaystyle \frac{X_1+X_2+X_3}{3}}$の平均$E(\bar{X})$が${\displaystyle \frac{3}{2}}$であるとき，$\bar{X}$の確率分布とその分散$V(\bar{X})$を求めよ．ただし，復元抽出とは，母集団の中から標本を抽出するのに，毎回もとに戻してから次のものを$1$個取り出す抽出法である．

【５-４】　次の各問いに答えよ．

(2)　ある企業の入社試験は採用枠$300$名のところ$500$名の応募があった．試験の結果は$500$点満点の試験に対し，平均点$245$点，標準偏差$50$点であった．得点の分布が正規分布であるとみなされるとき，合格最低点はおよそ何点であるか．小数点以下を切り上げて答えよ．ただし，確率変数$Z$が標準正規分布に従うとき，$P(Z>0.25)=0.4\text{，}P(Z>0.5)=0.3\text{，}P(Z>0.54)=0.2$とする．