2014　琉球大学　後期理学部MathJax

【１】　$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\end{array}\right)$の$n$乗を$A^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$とする．また，$\alpha =2+\sqrt{3}\text{，}\beta =2-\sqrt{3}$として，$B=\left(\begin{array}{cc}\alpha & 0\\ 0& \beta \end{array}\right)$とする．次の問いに答えよ．

問１　$AM=MB$かつ$xw-yz\ne 0$をみたす行列$M=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)$を$1$つ求めよ．

問２　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{c_n}}$の値を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

問１　定積分${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}}\sqrt{1-x^2}dx$を求めよ．

問２　定積分${\displaystyle {\int }_{\cos \frac{5\pi }{12}}^{\frac{1}{2}}}\sqrt{1-x^2}dx+{\displaystyle {\int }_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\cos \frac{\pi }{12}}}\sqrt{1-x^2}dx$を求めよ．

問３　次の定積分$A\text{，}B$について，$A$は$B$より大きいか，小さいか，等しいか，理由を付けて答えよ．

$A={\displaystyle {\int }_0^{\cos \frac{2\pi }{5}}}\sqrt{1-x^2}dx+{\displaystyle {\int }_{\cos \frac{\pi }{10}}^1}\sqrt{1-x^2}dx$

$B={\displaystyle {\int }_{\cos \frac{2\pi }{5}}^{\cos \frac{3\pi }{10}}}\sqrt{1-x^2}dx+{\displaystyle {\int }_{\cos \frac{\pi }{5}}^{\cos \frac{\pi }{10}}}\sqrt{1-x^2}dx$

【３】　次の問いに答えよ．

問１　正三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$の$3$等分点を，$\mathrm{B}$に近い方から順に$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$とする．$\angle \mathrm{DAE}$は$20\mathrm{°}$より大きいか，小さいか，等しいか，理由を付けて答えよ．

【３】　次の問いに答えよ．

問２　$xy$平面上に$2$つの円$C_1\text{：}{x}^2+y^2=4\text{，}{C}_2\text{：}{x}^2+{(y-4)}^2=1$がある．$C_1$と$C_2$の共通接線のうち，$C_1$と第$1$象限で接し，$C_2$と第$2$象限で接するような接線の方程式を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$は，相異なる$3$の累乗$3^d$（指数$d$は$0$または正の整数）の和で表される整数を，小さい順に並べて定められている．つまり，

$a_1=1\text{，}{a}_2=3\text{，}{a}_3=1+3=4\text{，}{a}_4=3^2=9\text{，}{a}_5=1+3^2=10\text{，}{a}_6=3+3^2=12\text{，}\cdots$

である．次の問いに答えよ．

問１　$a_n$を相異なる$3$の累乗の和で表す表し方は，ただ$1$通りであることを証明せよ．

問２　第$50$項$a_{50}$を求めよ．