2014　釧路公立大学　中期MathJax

2014　釧路公立大学　中期

易□　並□　難□

【１】　次の計算をせよ．

(1)　 $(\sqrt{2} + \sqrt{- 3}) (\sqrt{- 8} - \sqrt{12})$

(2)　 ${(2 - i)}^{3}$

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易□　並□　難□

【２】　以下の各問に答えよ．

問１　 $x$ の $2$ 次方程式 $x^{2} + a x + a + 8 = 0$ が異なる $2$ つの実数解をもち，共に $1$ より大きくなるような $a$ の範囲を求めよ．

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易□　並□　難□

【２】　以下の各問に答えよ．

問２　 $0 ° ≦ θ ≦ 180 °$ のとき，関数 $y = \sin^{4} θ - 2 \sin^{2} θ + \cos^{4} θ$ の最大値と最小値，およびそのときの $θ$ の値を求めよ．

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易□　並□　難□

【３】　 $n ， m$ を整数とする．このとき，以下の各問に答えよ．

問１　 $n^{2}$ を $5$ で割った余りは $0 ， 1$ または $4$ であることを証明せよ．

問２　 $n$ を $5$ で割った余りが $4$ のとき， $n^{2} + n$ は $5$ の倍数であることを証明せよ．

問３　 $m > 1$ のとき， $m^{3} - m$ が $6$ の倍数であることを証明せよ．

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易□　並□　難□

【４】　以下の各問に答えよ．

問１　年利率 $r % ， 1$ 年ごとの複利で $y$ 万円を預けると， $x$ 年後に元利合計は $y {(1 + 0.01 r)}^{2}$ 万円となる．ただし， $r$ は整数とする．このとき，以下の各問について別添の常用対数表を用いて答えよ．

(1)　年利率 $2 %$ で $10$ 万円を預けると，元利合計が初めて $15$ 万円を超えるのは何年後か求めよ．

(2)　元利合計が $10$ 年で預けた金額の倍以上になるような最少の $r$ を求めよ．

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易□　並□　難□

【４】　以下の各問に答えよ．

問２　曲線： $y = x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 8$ がある．以下の各問に答えよ．

(1)　曲線と $x$ 軸との交点の座標をすべて求めよ．

(2)　曲線と $y$ 軸との交点における曲線の接線の方程式を求めよ．

(3)　曲線と(2)で求めた直線で囲まれる図形の面積を求めよ．