2014　公立はこだて未来大学　推薦MathJax

【１】　$2$次方程式$x^2-(3a+5)x+2a^2+9a+4=0$を考える．ただし，定数$a$は$0\leqq a\leqq 1$をみたすとする．この$2$次方程式の異なる$2$つの実数解を，$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$で表すとき，以下の問いに答えよ．

問１　$\alpha +\beta$と$\alpha \beta$をそれぞれ$a$で表せ．

問２　${(\alpha -\beta )}^2$を$a$で表せ．

問３　${\alpha }^2-{\beta }^2$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．

【２】　$2$つの関数$f(x)=\left|x\right|-|x-1|\text{，}g(x)=ax+b$について，以下の問いに答えよ．ただし，定数$a\text{，}b$は実数とする．

問１　$y=f(x)$のグラフを描け．

問２　$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフが$0<x<1$においてただ$1$点で交わるとする．このとき，$a$と$b$がみたす関係式を求め，さらに点$(a,b)$の存在する領域を図示せよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

問１　${27}^x+2\cdot 9^x-5\cdot 3^x-6=0$を解け．

問２　${\log }_2(x^3-3x^2-x+3)+{\log }_{\frac{1}{2}}(2x^2-7x+3)=0$を解け．

【４】　座標平面上において，$y=x^2$で与えられる放物線$C$上に点$\mathrm{P}(a,a^2)$をとる．ただし，$a>0$とする．また，点$\mathrm{P}$における放物線$C$の接線を$l\text{，}$点$\mathrm{P}$を通り$l$と直交する直線を$m$とする．以下の問いに答えよ．

問１　放物線$C$と直線$m$の共有点のうち，点$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

問２　放物線$C$と直線$m$で囲まれた図形の面積を$S$とする．$S$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．