2014　公立はこだて未来大学　AOMathJax

【１】　座標平面において，$y=\cos x\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$で与えられる曲線を$C$とする．また，曲線$C$上に相異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\cos a)\text{，}\mathrm{B}(0,1)$をとり，線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．点$\mathrm{A}$が点$\mathrm{B}$を除く曲線$C$上を動くとき，点$\mathrm{M}$の軌跡の方程式を導け．さらに，その方程式の表す図形を座標平面上に描け．

【２】　${10}^2\leqq x\leqq {10}^{10}$のとき，次の関数の最小値を求めよ．

$y={\displaystyle \frac{1}{3}}{({\log }_{10}x)}^3-5{({\log }_{10}x)}^2+21{\log }_{10}x$

【３】　座標平面の原点$\mathrm{O}$から直線$l$に下ろした垂線を$\mathrm{OH}$とし，直線$l$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．ただし，点$\mathrm{H}$は第$1$象限にあるとする．また，線分$\mathrm{OH}$の長さは$2$とし，$\angle \mathrm{AOH}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$とする．以下の問いに答えよ．

問１　直線$l$の法線ベクトル$\overrightarrow{n}$を求めよ．ただし，$\left|\overrightarrow{n}\right|=1\text{，}\overrightarrow{n}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$のなす角は${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$以下であるとする．

問２　点$\mathrm{P}$が直線$l$上を動くとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と問１で求めた$\overrightarrow{n}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{n}$を求めよ．

【４】　次の$2$つの$2$次方程式(1)，(2)について，以下の問いに答えよ．

$x^2-(t+1)x+(t+1)=0\cdots$(1)

$x^2-2(t-a)x+9=0\cdots$(2)

ただし，定数$a\text{，}t$は実数とする．

問１　$2$次方程式(1)が実数解をもつように，$t$の値の範囲を定めよ．

問２　$2$次方程式(2)が実数解をもつように，$t$の値の範囲を$a$を用いて定めよ．

問３　$2$次方程式(2)が実数解をもつようなすべての$t$に対して，$2$次方程式(1)は実数解をもつとする．このとき，$a$の値の範囲を定めよ．