2014　首都大学東京　後期MathJax

2014-11261-0201

2014　首都大学東京　後期

都市教養，都市環境，システムデザイン学部

易□　並□　難□

【１】　 $2$ 次の正方行列 $A$ に対し， $P = 2 A - E ， Q = 2 E - 2 A$ とおく．

$P Q = Q P = O$

が成り立つとき，以下の問いに答えなさい．ここで，

$E = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) ， O = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})$

とする．

(1)　 $P^{2} = P ， Q^{2} = Q$ が成り立つことを示しなさい．

(2)　すべての自然数 $n$ に対し

$A^{n} = P + \frac{1}{2^{n}} Q \dots (＊)$

が成り立つことを， $n$ に関する数学的帰納法で示しなさい．

(3)　 $t$ を実数とし， $A = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 4 & t \\ - 3 & - 1 \end{matrix})$ に対し $A^{n} = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \\ c_{n} & d_{n} \end{matrix}) （ n = 1 ， 2 ， \dots ）$ とおく．この $A$ が $P Q = Q P = O$ を満たすとき， $t$ の値を決定し，

$(\begin{matrix} \lim_{n \to \infty} a_{n} & \lim_{n \to \infty} b_{n} \\ \lim_{n \to \infty} c_{n} & \lim_{n \to \infty} d_{n} \end{matrix})$

を求めなさい．

2014-11261-0202

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都市教養（化学除く），都市環境，システムデザイン学部

易□　並□　難□

【２】　 $A (1, 1) ， B (- \sqrt{3}, 1) ， O (0, 0) ， P (\cos θ, \sin θ) （ 0 ≦ θ ≦ π ）$ に対し，内積 $\vec{OA} \cdot \vec{OP}$ と内積 $\vec{OB} \cdot \vec{OP}$ のうちの最大値を $f (θ)$ とする．ただし，同じ値のときはその値を $f (θ)$ とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　 $\vec{OA} \cdot \vec{OP} ≧ \vec{OB} \cdot \vec{OP}$ を満たす $θ$ の範囲を求めなさい．

(2)　 $0 < θ < π$ の範囲で関数 $y = f (θ)$ の極値をすべて求めなさい．

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都市教養（化学除く），都市環境，システムデザイン学部

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【３】　実数 $x ， y （ y > x ≧ - 1 ）$ が $2 \int_{x}^{y} | t | d t = 1$ を満たすとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　 $x > 0$ のとき， $y$ を $x$ についての式で表し，点 $(x, y)$ のえがく図形を $x y$ 平面に図示しなさい．

(2)　 $- 1 ≦ x ≦ 0$ のとき， $y$ を $x$ についての式で表し，点 $(x, y)$ のえがく図形を $x y$ 平面に図示しなさい．

(3)　 $y - x$ が取りうる最大の値を求めなさい．

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都市教養（化学除く），都市環境，システムデザイン学部

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【４】　一辺の長さが $\sqrt{2}$ の正四面体 $OABC$ の辺 $OA ， BC$ の中点をそれぞれ $M ， N$ とし， $0 < t < 1$ に対して線分 $MN$ を $t : 1 - t$ に内分する点を $P$ とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　 $MN$ の長さを求めなさい．

(2)　辺 $OC$ 上の $1$ 点 $Q$ は $MN$ と $PQ$ が直交するように定められているとする． $OQ$ の長さを求めなさい．

(3)　 $MN$ を軸として正四面体 $OABC$ を $1$ 回転させてできる回転体の体積を求めなさい．

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