2014　京都府立大学　前期MathJax

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内に$5$点$\mathrm{A}(10,0,0)\text{，}\mathrm{B}(10,5\sqrt{3},15)\text{，}\mathrm{C}(8,-\sqrt{3},-3)\text{，}\mathrm{D}(8,5\sqrt{3},15)\text{，}\mathrm{E}(-4,\sqrt{3},3)$をとる．$2$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}$を通る直線を$l_1\text{，}2$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線を$l_2\text{，}2$点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を通る直線を$l_3\text{，}2$点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{E}$を通る直線を$l_4$とする．$2$つの直線$l_1\text{，}{l}_3$の交点を$\mathrm{F}\text{，}2$つの直線$l_2\text{，}{l}_3$の交点を$\mathrm{G}\text{，}2$つの直線$l_2\text{，}{l}_4$の交点を$\mathrm{H}\text{，}2$つの直線$l_1\text{，}{l}_4$の交点を$\mathrm{I}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$6$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$は同一平面上にあることを示せ．

(2)　$4$点$\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}\text{，}\mathrm{I}$の座標を求めよ．

(3)　四角形$\mathrm{FGHI}$の面積を求めよ．

(4)　四角形$\mathrm{FGHI}$に外接する円の中心座標と半径を求めよ．

【２】　$p\text{，}q$は自然数とする．$\alpha \text{，}\beta$は$\alpha >\beta$を満たす$2$次方程式$x^2-x-1=0$の解とする．$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を

$a_1=0\text{，}{b}_1=1$

$a_{n+1}=(p+q)a_n+p{b}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_{n+1}=p{a}_n+q{b}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．以下の問いに答えよ．

(1)　$a_n>0\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$かつ$b_n>0\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$となることを示せ．

(2)　$c_n=\alpha a_n+b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{），}{d}_n=-a_n+\alpha b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおく．$c_n={(p\alpha +q)}^{n-1}\text{（}n=1\text{，}2.\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$かつ$d_n=\alpha {(p\beta +q)}^{n-1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを示せ．

(3)　$p\beta +q>0$のとき，${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}}>{\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$となることを示せ．

【３】　区間$-1\leqq x\leqq 1$で定義された連続関数$f(x)$を

$12xf(x)+12{\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt=15x^3\left|x\right|-16x^3\text{，}f(0)=0$

によって定める．曲線$C\text{：}y=f(x)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$は$x=0$で微分可能であることを示せ．

(3)　曲線$C$と直線$l\text{：}y=a$との区間$-1\leqq x\leqq 1$における共有点の個数を，$a$の値によって分類せよ．

(4)　曲線$C$と$3$直線$y=-1\text{，}x=-1\text{，}x=1$で囲まれる部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【４】　実数を成分とする$2$次正方行列$A$の逆行列は存在しないとする．$2$次正方行列$X$は$XAX=X$かつ$AX=XA$かつ$A^{3}X=A^2$を満たすとする．$A^2\ne \left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$のとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$2$次正方行列$Y$が$YAY=Y$かつ$AY=YA$かつ$A^{3}Y=A^2$を満たすとき，$Y=X$であることを示せ．

(2)　$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$のとき，$X$を求めよ．

【１】　$0<t<1$とする．$▵\mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AC}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$となる点を$\mathrm{C}$とし，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=t\overrightarrow{b}$となる点を$\mathrm{D}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=(1-t)\overrightarrow{a}$となる点を$\mathrm{E}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{AB}}$となる点を$\mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{G}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$3{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+6{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2-9{\left|\overrightarrow{c}\right|}^2=2{\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2$となることを示せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$および$t$を用いて表せ．

(3)　$▵\mathrm{OAB}$の面積を$S_1\text{，}$$▵\mathrm{DEF}$の面積を$S_2$とする．${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$を$t$を用いて多項式で表し，${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

【２】　定数$a$を正の実数とする．$2$つの放物線$C_1\text{：}y=2x^2+1\text{，}{C}_2\text{：}y=-\sqrt{2}{(x+a)}^2+1$がある．$C_1\text{，}{C}_2$の両方に接する直線を$C_1\text{，}{C}_2$の共通接線という．以下の問いに答えよ．

(1)　$C_1$上の任意の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とする．点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線の方程式を$t$を用いて表せ．

(2)　$C_1\text{，}{C}_2$の共通接線がちょうど$2$本存在することを示せ．

(3)　$C_1\text{，}{C}_2$の$2$本の共通接線と$C_1$とで囲まれた部分の面積を$a$を用いて表せ．

【３】　$1$個のサイコロを$1$回投げるごとに，出た目によって，点$\mathrm{P}$が座標平面上を，次の規則に従って動くものとする．

　最初は原点にあり，偶数が出た場合は$x$軸の正の方向に出た目の数だけ進み，奇数が出た場合は$y$軸の正の方向に出た目の数だけ進む．

点$\mathrm{P}$の到達点の座標を$(x_0,y_0)$とする．以下の問いに答えよ．ただし分数は既約分数で答えること．

(1)　サイコロを$3$回投げたとき，$x_0=0$かつ$y_0=9$となる確率を求めよ．

(2)　サイコロを$n$回投げたとき，$x_0=2n+2$かつ$y_0=0$となる確率を$n$を用いて表せ．

(3)　サイコロを$2$回投げたとき，$\mathrm{P}$が${\displaystyle \frac{x_0}{2}}<y_0<-{\displaystyle \frac{{x_0}^3}{4}}+8$の表す領域に存在する確率を求めよ．

(4)　サイコロを$2$回投げたとき，$\mathrm{P}$が${x_0}^2+{y_0}^2-8x_0-2y_0+13>0$の表す領域に存在する確率を求めよ．