2014　公立鳥取環境大学　前期MathJax

2014-11671-0101

2014　公立鳥取環境大学　前期

易□　並□　難□

【１】　次の問に答えよ．

(1)　 $r ， s$ を実数とする．このとき，次の命題の対偶を考えよ．

「 $| r s | ≧ 1$ 」ならば「 $| r | ≧ 1$ または $| s | ≧ 1$ 」

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易□　並□　難□

【１】　次の問に答えよ．

(2)　次の $① ， ②$ の $[]$ に当てはまるものを下の(ア)〜(エ)から選び答えよ．

$①$ 　 $r ， s$ を実数とする．このとき， $r + s > 0$ であることは， $r > 0$ または $s > 0$ であるための $[] ．$

$②$ 　四角形 $ABCD$ において， $∠ ABC = ∠ ADC$ であることは，各頂点が同一円周上にあるための $[] ．$

(ア)　必要条件であるが十分条件ではない

(イ)　十分条件であるが必要条件ではない

(ウ)　必要十分条件である

(エ)　必要条件でも十分条件でもない

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易□　並□　難□

【１】　次の問に答えよ．

(3)　 $y = f (x)$ は $1$ 次関数とする．このとき，次の命題の反例を示し，それが実際にその命題の反例となっていることを証明せよ．

「 $\int_{0}^{1} f (t) d t ≧ 0$ 」ならば「 $0 ≦ x ≦ 1$ のとき $f (x) ≧ 0$ 」

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易□　並□　難□

【１】　次の問に答えよ．

(4)　命題「 $r + s = 0$ かつ $r s > 0$ を満たす実数 $r ， s$ が存在する」が成り立たないことを背理法により証明せよ．

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【２】　右の図のように，円形の的の中心から線分を引いて $8$ つの領域に分け，時計回りに $A$ から $H$ の名前をつける．

　この的に矢を当てることを考える．この的はその円の中心を回転の中心として回転する．また，弓は狙いを的に向けて固定し，矢は必ず的のいずれか $1$ つの領域に当たるものとする．さらに，次のことを仮定する

・ $1$ つの矢を発射したとき，それぞれの領域に当たる確率はその領域の中心角の大きさに比例する

・領域 $A$ に当たる確率は領域 $B$ に当たる確率の $2$ 倍

・領域 $B$ に当たる確率は領域 $C$ に当たる確率の $2$ 倍

・領域 $D 〜 G$ のそれぞれに当たる確率は等しい

・領域 $H$ に当たる確率は領域 $D$ に当たる確率の $5$ 倍

・領域 $A$ または領域 $H$ に当たる確率は $\frac{9}{16}$

　このとき，次の問に答えよ．

(1)　領域 $A 〜 H$ のそれぞれの中心角の大きさを求めよ．また，その求める過程を説明せよ．

(2)　 $1$ つの矢が各領域に当たったときの得点を以下の通りにする．

領域 $A ： 5$ 点，領域 $B ： 10$ 点，領域 $C ： 20$ 点，領域 $D 〜 G ： 5$ 点，領域 $H ： 4$ 点

$1$ つの矢を発射したときの得点の期待値を求めよ．また，その途中の計算も示せ．

2014-11671-0106

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【３】　 $f (x)$ は $1$ 次関数 $a x + b$ であり， $f (0) = p ， f (q) = 0$ である． $g (x)$ は $2$ 次の係数が $1$ である $2$ 次関数 $x^{2} + c x + d$ であり， $g (- s) = 0 ， g (t) = 0$ である． $h (x) = g (x) + f (x)$ である．ここで $p ， q ， s ， t$ はすべて正の実数である．以下の問に答えよ．

(1)　次の選択肢のうち正しいものをすべて挙げよ．

(ア)　 $a ≧ 0$ である．

(イ)　 $x$ の値が増えると $f (x)$ の値は減る．

(ウ)　どのような実数 $w$ に対しても $f (x) = w$ はちょうど $1$ つの実数解をもつ．

(エ)　 $s ， t$ がどのような正の値であっても $g (0) < 0$ である．

(オ)　 $h (x)$ は $3$ 次関数である．

(2)　次のグラフ(ア)〜(イ)のうち $y = g (x)$ のグラフとして不適切なものを全て挙げよ．

2014年公立鳥取環境大前期【３】2014116710106の図

(ア)
(イ)

(ウ)
(エ)

(3)　次の文章の $[ア]〜[カ]$ に当てはまる語句や式を答えよ．

　 $f (x)$ を $p$ と $q$ と $x$ を用いて表すと $f (x) = [ア] x + [イ]$ となる（ア，イは $x$ を含まない式）．また $f (x)$ は $a (x - m)$ と変形することができる． $m$ を $p$ と $q$ を用いて表すと $[ウ]$ となる．

　 $y = g (x)$ のグラフを $[エ]$ 軸方向に $[オ] 3$ だけ平行移動すると $y = g (x + 3)$ のグラフになる（オは「プラス」または「マイナス」）． $c$ を $s$ と $t$ を用いて表すと $[カ]$ となる．

(4)　 $s = 2 ， t = 1$ の場合について考える． $h (x)$ が $h (x) = h (- x)$ という性質も持つ場合， $p$ と $q$ の間に成り立つ関係式を式で示せ．また求める過程を説明せよ．

(5)　(4)の条件に加えて，方程式 $h (x) = 0$ が実数解を $1$ つだけもつ場合について考える． $p ， q$ の値を示せ．また求める過程を説明せよ．

(6)　(5)で求めた $y = f (x) ， y = g (x) ， y = h (x)$ の関係を図示せよ．それぞれの $x$ 軸との交点の $x$ 座標および， $y$ 軸との交点の $y$ 座標をすべて記入せよ．

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【４】　曲線 $y = 4 x - x^{3}$ および直線 $x = - 2$ について，以下の問に答えよ．それぞれ，求める過程を説明せよ．

(1)　曲線と直線の交点を $A$ とする．点 $A$ の座標を求めよ．

(2)　曲線について，点 $A$ での接線の方程式を求めよ．

(3)　点 $A$ を通り，(2)で求めた接線に垂直な直線の方程式を求めよ．

(4)　(2)，(3)で求めた $2$ つの直線，および $y$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

2014-11671-0108

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【５】　 $3$ つの数列 ${a_{n}} ， {b_{n}} ， {c_{n}}$ がある．数列 ${a_{n}}$ は， $a_{1} = 2 ， a_{3} = 8$ を満たす等差数列である．数列 ${b_{n}}$ は， $b_{1} = 1 ， b_{2} = 19 ， b_{n + 2} = 4 b_{n + 1} - 3 b_{n} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$ を満たす．また，数列 ${c_{n}}$ は $c_{n} = b_{n + 1} - b_{n} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$ を満たす．このとき，次の問に答えよ．

(1)　 $a_{2}$ を求めよ．また，数列 ${a_{n}}$ の一般項 $a_{n}$ を求めよ．

(2)　 $c_{1}$ を求めよ．また，数列 ${c_{n}}$ の一般項 $c_{n}$ を求め，その求める過程を説明せよ．

(3)　数列 ${b_{n}}$ の一般項 $b_{n}$ を求め，その求める過程を説明せよ．

(4)　 $2$ 以上の自然数 $n$ に対して， $a_{n} < b_{n}$ が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．

2014 公立鳥取環境大学 前期MathJax

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