2014　北九州市立大学　前期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とし，$S_n$が次の式で与えられるとする．

$S_n=a_n+2n^2-n-1$

また，数列$\{b_n\}$は次の条件によって与えられるとする．

$b_1=-2\text{，}{b}_{n+1}=2b_n+a_n$

以下の問題に答えよ．

(1)　$n$が$2$以上の自然数のとき，$S_{n-1}$を$n$の式で表せ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　$n$が$2$以上の自然数のとき，不等式$b_n>0$を証明せよ．

(5)　数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を$T_n$とする．$T_n$を$n$の式で表せ．

【２】　$2$つの曲線$C_1\text{：}f(x)=x^3-x$と$C_2\text{：}g(x)=x^3+x^2+ax$について考える．ただし，$a$は定数である．曲線$C_1$上の点$\mathrm{A}({\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{3}{8}})$における接線を$l$とし，点$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{B}(p,q)$において曲線$C_1$と直線$l$は交わっている．以下の問題に答えよ．

(1)　曲線$C_1$を原点に関して対称移動したグラフは$C_1$自身であることを証明せよ．

(2)　直線$l$の方程式と$p\text{，}q$の値を求めよ．

(3)　関数$f(x)$の$p\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$における最大値と最小値を求めよ．

(4)　関数$g(x)$が極値を持たないための必要十分条件を導関数$g^{\prime }(x)$を用いて表せ．また，このときの定数$a$の値の範囲を求めよ．

(5)　$a=1$のとき，$2$つの曲線$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．以下の問題に答えよ．

(1)　${\log }_{10}9$の値を求めよ．

(2)　${10}^{187}\leqq 9^k<{10}^{188}$を満たす整数$k$をすべて求めよ．

(3)　$9^{104}$は何桁の整数か答えよ．

(4)　$9^{104}$の一の位の数字を求めよ．

(5)　$9^{104}$の最高位の数字を求めよ．

【４】　コインを連続して投げる試行を考える．表が出た回は賞金が得られ，裏が出た回の賞金は$0$円とする．賞金は，$1$回目の試行で表なら$1$円，直前に裏が出て表が出たら$1$円である．裏が出た直後の試行または$1$回目の試行から数えて$n$回（$n\geqq 2$）続けて表が出ると，この$n$回目の表に対して$n$円得られるとする．たとえば，$5$回投げて表，表，裏，表，表の順に出た場合に（表，表，裏，表，表）と表記する．この場合には$1+2+0+1+2$の合計$6$円の賞金が得られる．以下の問題に答えよ．

(1)　$2$回コインを投げ，$2$回とも表が出る確率を求めよ．

(2)　$2$回コインを投げたとき，得られる賞金の期待値を求めよ．

(3)　$5$回コインを投げて$3$回表が出たとする．得られる賞金が最も多いときと最も少ないときの賞金の差を求めよ．

(4)　$5$回コインを投げたとき，得られる賞金が$4$円である確率を求めよ．

(5)　$5$回コインを投げたとき，得られる賞金が$3$円以下である確率を求めよ．

【１】　以下の問いの空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ス}}$に入れるのに適する数値，式などを解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)　直線$y={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}}+1$と$x$軸の正の向きとのなす角は$\boxed{\text{ア}}$であり，この直線と放物線$y={\displaystyle \frac{x^2}{4}}$の共有点の座標は$(\boxed{\text{イ}},\boxed{\text{ウ}})$と$(\boxed{\text{エ}},\boxed{\text{オ}})$である．

【１】　以下の問いの空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ス}}$に入れるのに適する数値，式などを解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$において，${\displaystyle \frac{\sin A}{9}}={\displaystyle \frac{\sin B}{7}}={\displaystyle \frac{\sin C}{5}}$が成り立つとき，この三角形の最も大きい角の余弦の値は$\boxed{\text{カ}}$である．この三角形の最も大きい辺の長さを$9$とすると，三角形の面積は$\boxed{\text{キ}}$である．

【１】　以下の問いの空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ス}}$に入れるのに適する数値，式などを解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(3)　同じ$2$つの箱と，同じ$4$つの球がある．$2$つの箱にすべての球を分配するときの組み合わせは$\boxed{\text{ク}}$通りである．また，大小の$2$つの箱と，$1$から$4$までの数が書かれた$4$つの球があるとき，すべての球を分配するときの組み合わせは$\boxed{\text{ケ}}$通りである．ただし，片方の箱のみに球が入っている場合も含む．

【１】　以下の問いの空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ス}}$に入れるのに適する数値，式などを解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(4)　$x={\displaystyle \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}}\text{，}y={\displaystyle \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}}$のとき，$x^2+y^2$の値は$\boxed{\text{コ}}\text{，}{x}^3-y^3$の値は$\boxed{\text{サ}}$となる．

【１】　以下の問いの空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ス}}$に入れるのに適する数値，式などを解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(5)　大小の$2$個のさいころを投げ，出た目が同じ場合は$10$点，大のさいころの目のほうが大きい場合は$5$点，それ以外の場合には得点は得られないとするとき，点数を得られる目が出る確率は$\boxed{\text{シ}}$で，得点の期待値は$\boxed{\text{ス}}$点である．

【２】　以下の問いの空欄$\boxed{\text{タ}}\text{〜}\boxed{\text{ノ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)　$i$を虚数単位として，等式$(2+i)(x-3yi)=1-i$を満たす実数$x$および$y$の値を求めると$x=\boxed{\text{タ}}\text{，}y=\boxed{\text{チ}}$となる．

【２】　以下の問いの空欄$\boxed{\text{タ}}\text{〜}\boxed{\text{ノ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(2)　平面上に$2$点$\mathrm{A}(-1,1)\text{，}\mathrm{B}(3,-1)$と直線$x-2y-2=0$がある．この直線上に点$\mathrm{P}$をとるとき，$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$を最小にする点$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{\text{ツ}},\boxed{\text{テ}})$となる．

【２】　以下の問いの空欄$\boxed{\text{タ}}\text{〜}\boxed{\text{ノ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(3)　$0\leqq \theta <2\pi$の条件で，関数$y=\cos 2\theta -4\sin \theta$の最大値と最小値を求めると，$\theta =\boxed{\text{ト}}$のときに最大値$\boxed{\text{ナ}}$をとり，$\theta =\boxed{\text{ニ}}$のときに最小値$\boxed{\text{ヌ}}$をとる．

【２】　以下の問いの空欄$\boxed{\text{タ}}\text{〜}\boxed{\text{ノ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(4)　不等式$9^x\leqq 6+3^x$の解は$\boxed{\text{ネ}}$である．

【２】　以下の問いの空欄$\boxed{\text{タ}}\text{〜}\boxed{\text{ノ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(5)　$3$つの数$x-3\text{，}x+1\text{，}x+6$がこの順で等比数列となるとき，$x$の値を求めると$x=\boxed{\text{ノ}}$となる．

【３】　$S_n=1-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}-\cdots +{\displaystyle \frac{{(-1)}^{n-1}}{n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$と定義する．以下の問いに答えよ．答えを導く過程も示すこと．

(1)　$x\ne 1$のとき，${\displaystyle \frac{1}{x+1}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{(-x)}^k+{\displaystyle \frac{{(-x)}^n}{x+1}}$が成立することを証明せよ．

(2)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$のとき，不等式$-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}\leqq {\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{{(-x)}^n}{x+1}}dx\leqq {\displaystyle \frac{1}{n+1}}$が成立することを証明せよ．

(3)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{\displaystyle {\int }_0^1}{(-x)}^{k}dx$が成立することを証明せよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【４】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(2,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(-2,2,0)\text{，}$$\mathrm{C}(2,-2,4)$がある．以下の問いに答えよ．答えを導く過程も示すこと．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさ$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|$を求めよ．また，$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とするとき$\cos \theta$の値を求めよ．

(2)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とし，$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に引いた垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$s+t+u=1$とする．このときの$\mathrm{H}$の座標を$s\text{，}$$t\text{，}$$u$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{H}$の座標と線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．

(4)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．