2014　福岡女子大学　前期MathJax

【１】　新しく購入した機械は，購入$1$年目から$1$年間隔で$4$回の定期検査を受けることになっている．検査で異常が見つかる確率は毎回同じで$p$（$0<p<1$）である．定期検査で異常が見つかった場合のみ修理が行われる．検査は無料であるが，修理は有料である．$1$年目の検査で異常が見つかった場合の修理費用は$8000$円であり，$r$年目（$r=2\text{，}3\text{，}4$）の検査で異常が見つかった場合の修理費用は

$\{\begin{array}{ll}8000\times r\text{（円），}& \text{ただし前回までの検査で異常なしの場合}\\ 0\text{（円），}& \text{ただし，前回までの検査で修理を受けている場合}\end{array}$

である．以下の問に答えなさい．

(1)　$r=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$とする．$r$年目の検査で初めて異常が見つかる確率$P$と$r$年目の検査が終わるまで異常が見つからない確率$Q$とをそれぞれ$r$と$p$を用いた式で表しなさい．

(2)　購入してから$4$年目の検査が終わるまでの修理費用を$X$で表す．$X$のとり得る値とその確率を表にし，$X$の期待値を$p$の式で表しなさい．

(3)　$p=0.1$とする．購入時に$4$年間保証として$70000$円を支払うと，修理費用は無料となる．$4$年間保証に加入することと，修理時に費用を支払うのとでは，どちらが得であるかを$X$の期待値を計算して検討しなさい．

【２】　関数$f(x)={\cos }^{2}x+\sqrt{3}\sin x\cos x$について，以下の問に答えなさい．

(1)　$f(x)$が$f(x)=r\sin (ax+b)+c$となるように，定数$r\text{，}a\text{，}b\text{，}c$を求めなさい．ただし，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq b\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(2)　$0\leqq x\leqq \pi$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフを描き，$f(x)$の最大値を与える$x$の値，および$f(x)$の最小値を与える$x$の値を求めなさい．

【３】　実数$t$を$0<t<1$とし，関数$f(x)=|x(x-t)|$に対して，以下の問に答えなさい．

(1)　$a$を実数とする．$y=f(x)$のグラフを描き，直線$y=a$と$y=f(x)$の共有点の個数が$3$個になるときの$a$を$t$の式で表しなさい．また，このときの共有点の$x$座標を$t$の式で表しなさい．

(2)　関数$g(t)={\displaystyle {\int }_0^1}|x(x-t)|dx$とするとき，$g(t)$を$t$の式で表しなさい．

(3)　$g(t)$の最小値を求めなさい．

【４】　鋭角三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{R}\text{，}\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．点$\mathrm{H}$は，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=2\overrightarrow{\mathrm{RM}}$を満たす点である．右図を参考にして以下の問に答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{BH}}=\overrightarrow{\mathrm{RA}}+\overrightarrow{\mathrm{RC}}$となることを示しなさい．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BH}}$が直交することを示しなさい．

【３】　関数$y={\displaystyle \frac{1}{x}}\text{（}x>0\text{）}$のグラフを考える．点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$は$x$軸上にあり，その$x$座標はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}1$である．また，$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{N}$とする．これらの点に対して，点${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{M}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{N}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }$はグラフ上にあり，その$x$座標は$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{N}\text{，}\mathrm{C}$のそれと同一である．また，点$\mathrm{P}$は${\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{A}$上に，点$\mathrm{Q}$は${\mathrm{B}}^{\prime }\mathrm{B}$上にあり，$\mathrm{PQ}$は点${\mathrm{M}}^{\prime }$で$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$と接する．点$\mathrm{R}$は${\mathrm{B}}^{\prime }\mathrm{B}$上に，点$\mathrm{S}$は${\mathrm{C}}^{\prime }\mathrm{C}$上にあり，$\mathrm{RS}$は点${\mathrm{N}}^{\prime }$で$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$と接している．以下の問に答えなさい．

(1)　台形${\mathrm{AA}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }\mathrm{B}$の面積，台形${\mathrm{BB}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }\mathrm{C}$の面積をそれぞれ求めなさい．

(2)　台形$\mathrm{APQB}$の面積，台形$\mathrm{BRSC}$の面積をそれぞれ求めなさい．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{3}}^1}{\displaystyle \frac{1}{x}}dx$と(1)の$2$つの台形の面積の和，および(2)の$2$つの台形の面積の和を比較することにより，次の不等式を証明しなさい．

${\displaystyle \frac{16}{15}}<\log 3<{\displaystyle \frac{7}{6}}$

【４】　座標平面上に，中心が原点$\mathrm{O}\text{，}$半径が$1$の円と原点を通り，傾きが正の直線$l$がある．点${\mathrm{A}}^{\prime }(p,q)$と点$\mathrm{A}(1,0)$は$l$に関して対称であり，点${\mathrm{B}}^{\prime }(p^{\prime },q^{\prime })$と点$\mathrm{B}(0,1)$は$l$に関して対称である．$l$に関して対称な$1$次変換の表す行列$T$は，

$T=\left(\begin{array}{cc}p& p^{\prime }\\ q& q^{\prime }\end{array}\right)$

と表せる．右図を参考にして，$p>p^{\prime }$の場合について，以下の問に答えなさい．なお，$\mathrm{P}=\mathrm{P}(p,0)\text{，}{\mathrm{P}}^{\prime }=(p^{\prime },0)$である．

(1)　$\theta =\angle {\mathrm{AA}}^{\prime }\mathrm{P}$とおく．$\angle {\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{OP}=2\theta \text{，}\angle {\mathrm{OB}}^{\prime }{\mathrm{P}}^{\prime }=2\theta$となることを示しなさい．

(2)　$q^{\prime }=-p\text{，}{p}^{\prime }=q$となることを示しなさい．

(3)　$T^2=E$（ただし，$E$は単位行列）となることを示しなさい．