2014　学習院大学　理学部MathJax

【１】　大中小$3$つのサイコロを同時に投げ，出た目をそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$とする．また，これらを並べてできる$3$桁の整数$abc$を$n$とする．たとえば，$a=2\text{，}b=5\text{，}c=1$なら$n=251$である．

(1)　$n$が偶数である確率を求めよ．

(2)　$n$を$3$で割った余りが$2$である確率を求めよ．

(3)　$n\geqq 325$である確率を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$とし，$\angle \mathrm{A}\text{，}\angle \mathrm{B}\text{，}\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A\text{，}B\text{，}C$とする．このとき，$3$つの条件

$(a+b+c)(a-b+c)=3ac$

$\sin A\sin C={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{4}}$

$A\leqq C$

が成り立っているとする．

(1)　$\cos B$を求めよ．

(2)　$A\text{，}B\text{，}C$を求めよ．

【３】　平面上に$3$点

$\mathrm{A}(0,a)\text{，}\mathrm{B}(-t,t^2-a)\text{，}\mathrm{C}(t,t^2-a)$

があり，条件

$a>0\text{，}0<t\leqq \sqrt{a}\text{，}▵\mathrm{ABC}$は正三角形

が成り立っているとする．

(1)　$a$を$t$で表せ．

(2)　$0<t\leqq \sqrt{3}$であることを示せ．

(3)　$2$つの放物線$y=x^2-a\text{，}y=-x^2+a$で囲まれた面積を$S$とし，$▵\mathrm{ABC}$の面積を$T$とする．$t$が(2)の範囲を動くとき，${\displaystyle \frac{S}{T}}$の最小値を求めよ．

【４】　正の実数$a$に対して

$f(a)={\displaystyle {\int }_{-a}^a}{\displaystyle \frac{e^x}{e^{2x}+3e^x+2}}dx$

とおく．

(1)　$f(a)$を求めよ．

(2)　極限$\underset{a\to \infty }{\lim }f(a)$を求めよ．