2014　学習院大学　法学部MathJax

【１】　不等式

$n^2+n+1\leqq 3|n+1|$

を満たす整数$n$をすべて求めよ．

【２】　スイッチを入れたとき点灯しない確率が$p$である電灯がある．この電灯が，部屋$\mathrm{A}$には$2$つ，部屋$\mathrm{B}$には$3$つ，部屋$\mathrm{C}$には$4$つ設置されていて，どの部屋も，半分以上の電灯が点灯すれば使用でき，半分未満では使用できない．部屋$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が使用できない確率を，それぞれ$p_{\mathrm{A}}\text{，}{p}_{\mathrm{B}}\text{，}{p}_{\mathrm{C}}$とする．

(1)　$p_{\mathrm{B}}$を$p$を用いて表せ．

(2)　$p_{\mathrm{A}}>p_{\mathrm{B}}$となる$p$の範囲を求めよ．

【３】　すべての自然数$n$に対して，不等式

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2n-1}}}>\sqrt{2n+1}-1$

が成り立つことを示せ．

【４】　放物線$C\text{：}y=x^2$の点$\mathrm{P}({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{3}{4}})$に対して，$\mathrm{P}$における$C$の接線を$L$とする．

(1)　$C$と$L$と$y$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$で$L$に接し，同時に$x$軸の正の部分に接する円を$K$とするとき，$K$の中心の座標を求めよ．