2014　慶応義塾大学　商学部MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．

(ⅰ)　右図のような口の半径が$10\mathrm{cm}\text{，}$高さが$30\mathrm{cm}$の口のあいた逆円すい形の容器を，口が水平になるように置き，水を入れた．水面の面積が$36\pi {\mathrm{cm}}^2$であるとき，水の体積は$\boxed{\text{(1)}\text{(2)}\text{(3)}}\pi {\mathrm{cm}}^3$であり，容器の内面で水に接していない部分の面積は，水に接している部分の面積の${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(4)}\text{(5)}}}{\boxed{\text{(6)}}}}$倍である．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(ⅱ)　次の数列を考える．

$1\text{，}{\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{9}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{9}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{9}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{9}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{9}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{9}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{9}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{9}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{9}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{27}}\text{，}\cdots \text{，}$

この数列の第$670$項は${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{(7)}\text{(8)}\text{(9)}}}}\text{，}$初項から第$2182$項までの和は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(10)}\text{(11)}\text{(12)}\text{(13)}}}{\boxed{\text{(14)}\text{(15)}\text{(16)}}}}$である．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(ⅲ)　次の連立方程式を満たす実数の組$(x,y)$をすべて求めなさい．（答えのみを解答用紙の解答欄の所定の枠内に記入しなさい．）

$\{\begin{array}{l}-9x^2+4x+3y^2=0\\ 3xy-5y=0\end{array}$

【２】　放物線$p_1\text{：}y=x^2-4x+5$と，その上の点$\mathrm{P}(4,5)$を考える．

(ⅰ)　傾きが$-2$で，放物線$p_1$に接する直線$l$の方程式は

$y=-2x+\boxed{\text{(17)}}$

であり，放物線$p_1$と直線$l$の接点$\mathrm{Q}$の座標は$(\boxed{\text{(18)}},\boxed{\text{(19)}})$である．

(ⅱ)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を通り，頂点の$y$座標が$6$であるような放物線の方程式は

$y=-x^2+\boxed{\text{(20)}}x-\boxed{\text{(21)}}$

または

$y=-{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{(22)}}}}(x^2-\boxed{\text{(23)}\text{(24)}}x-\boxed{\text{(25)}})$

である．

(ⅱ)で求めた放物線のうち，方程式$y=-x^2+\boxed{\text{(20)}}x-\boxed{\text{(21)}}$で定まるものを$p_2$とし，放物線$p_2$の頂点を$\mathrm{R}$とする．

(ⅲ)　$\cos \angle \mathrm{PRQ}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{(26)}\text{(27)}}}}{\boxed{\text{(28)}\text{(29)}}}}$であり，三角形$\mathrm{PQR}$の面積は$\boxed{\text{(30)}}$である．

(ⅳ)　$2$つの放物線$p_1$と$p_2$で囲まれた図形の面積は$\boxed{\text{(31)}}$である．

【３】　$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$を考える．

(ⅰ)　$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{EF}$の中点を$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{AP}$と$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\boxed{\text{(32)}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(33)}}}{\boxed{\text{(34)}}}}\overrightarrow{\mathrm{AF}}\text{，}$

$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(35)}}}{\boxed{\text{(36)}}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(37)}}}{\boxed{\text{(38)}}}}\overrightarrow{\mathrm{AF}}\text{，}$

$\overrightarrow{\mathrm{CR}}=-\overrightarrow{\mathrm{AB}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(39)}}}{\boxed{\text{(40)}}}}\overrightarrow{\mathrm{AF}}$

と表せる．

(ⅱ)　$|k\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}|$が最小になるような実数$k$の値は$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(41)}}}{\boxed{\text{(42)}}}}$であり，そのときの$|k\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}|$の最小値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{(43)}\text{(44)}}}}{\boxed{\text{(45)}}}}$となる．

(ⅲ)　直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{S}$とするとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積は三角形$\mathrm{DPS}$の面積の${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(46)}\text{(47)}}}{\boxed{\text{(48)}}}}$倍である．

【４】　$r>0$とする．座標平面上の原点以外の点に対し，$2$種類の移動$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を以下のように定める．

移動$\mathrm{A}\cdots (r\cos \theta ,r\sin \theta )$にある点が$(r\cos (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{6}}),r\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{6}}))$に動く．

移動$\mathrm{B}\cdots (r\cos \theta ,r\sin \theta )$にある点が$((r+1)\cos \theta ,(r+1)\sin \theta )$に動く．

動点$\mathrm{K}$は点$(1,0)$を出発し，上記$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$いずれかの移動を繰り返しながら座標平面上を動くとする．

(ⅰ)　動点$\mathrm{K}$が$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{B}$の順に$4$回の移動を行ったとき，到達する点の座標は$(\boxed{\text{(49)}}\sqrt{\boxed{\text{(50)}}},\boxed{\text{(51)}})$である．

(ⅱ)　動点$\mathrm{K}$が$7$回の移動で点$(0,5)$に到達する経路は$\boxed{\text{(52)}\text{(53)}}$通りあり，そのうち点$({\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}})$を通らないものは$\boxed{\text{(54)}\text{(55)}}$通りある．

以下，$p$を$0\leqq p\leqq 1$を満たす定数とする．動点$\mathrm{K}$は各回の移動において，確率で$p$移動$\mathrm{A}$を，確率$1-p$で移動$\mathrm{B}$を行うものとする．

(ⅲ)　動点$\mathrm{K}$が$5$回の移動で到達する点の座標が$(0,3)$である確率$P$を，$p$を用いた式で表しなさい．（答えのみを解答用紙の解答欄の所定の枠内に記入しなさい．）

(ⅳ)　動点$\mathrm{K}$が$5$回の移動で到達する点の$y$座標を$a$とするとき，$a^2$の期待値$E$を$p$を用いた式で表しなさい．（答えのみを解答用紙の解答欄の所定の枠内に記入しなさい．）