2014　慶応義塾大学　総合政策学部

【１】

(1)　座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(4,8)\text{，}\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{C}(12,0)$を頂点とする三角形$▵\mathrm{AOC}$に接する正方形を，一辺が$\mathrm{OC}$上にあり，$2$頂点が三角形の他の辺上にあるようにとる．このとき正方形の一辺の長さは

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(1)}\text{(2)}}}{\boxed{\text{(3)}\text{(4)}}}}$

である．

【１】

(2)　$u\text{，}v$を$0<u<2\text{，}0<v$なる実数とするとき

${(u-v)}^2+{(\sqrt{4-u^2}-{\displaystyle \frac{18}{v}})}^2$

は

$u=\sqrt{\boxed{\text{(5)}}}\text{，}v=\boxed{\text{(6)}}\sqrt{\boxed{\text{(7)}}}$

のとき，最小値$\boxed{\text{(8)}\text{(9)}}$をとる．（ヒント：平面上の$2$点の距離を考える．）

【２】　$x$に関する$3$つの関数$f_1(x)=x(15-x)\text{，}{f}_2(x)={\displaystyle \frac{x(30-x)}{2}}\text{，}{f}_3(x)=x(17-x)$が与えられている．

(1)　$x_1+x_2=c\text{，}{x}_1\geqq 0\text{，}{x}_2\geqq 0$という条件の下で$f_1(x_1)+f_2(x_2)$を最大にする問題を考える．ただし，$c$は$20$以下の正数とする．最大値$V(c)$を与える$x_1\text{，}{x}_2$の値をそれぞれ$p\text{，}q$とすると，$q={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(10)}\text{(11)}}}{\boxed{\text{(12)}\text{(13)}}}}c$である．$V(c)=42$となる$c$の値は$\boxed{\text{(14)}\text{(15)}}$である．

(2)　$x_1+x_2+x_3=20\text{，}{x}_1\geqq 0\text{，}{x}_2\geqq 0\text{，}{x}_3\geqq 0$という条件の下で

$f_1(x_1)+f_2(x_2)+f_3(x_3)$

を最大にする問題を考える．最大値を与える$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3$の値をそれぞれ$p\text{，}q\text{，}r$とすると

$q={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(16)}\text{(17)}}}{\boxed{\text{(18)}\text{(19)}}}}\text{，}r={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(20)}\text{(21)}}}{\boxed{\text{(22)}\text{(23)}}}}$

である．

【３】　右図のように，等しい辺の長さが$a\text{，}$その挟む角（頂角）が$2\theta$である二等辺三角形を$4$つ使って四面体を作る．$x={\cos }^2\theta$とおけば，四面体の体積$V$は

$V={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(24)}\text{(25)}}}{\boxed{\text{(26)}\text{(27)}}}}(1-\boxed{\text{(28)}}x)\sqrt{\boxed{\text{(29)}}x-1}{a}^3$

となる．このように作られる四面体のなかで最大の四面体の体積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(30)}}\sqrt{\boxed{\text{(31)}}}}{\boxed{\text{(32)}\text{(33)}}}}{a}^3$

である．

【４】　ある国では消費税率を選挙で決めようとしている．$5\mathrm{\%}\text{，}10\mathrm{\%}\text{，}15\mathrm{\%}$を理想とする有権者はそれぞれ$3600$万人ずついる．いま，選挙にあたって，$3$つの政党$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}\text{，}\mathrm{Z}$が，$5\mathrm{\%}\text{，}10\mathrm{\%}\text{，}15\mathrm{\%}$のいずれかを公約すると仮定する．有権者は投票する際，自分の理想と一致する公約を掲げる政党に投票するか，理想と一致する公約がない場合，理想にもっとも近い税率を公約に掲げる政党に投票するものとする．ただし，この意味で投票する政党が$2$つ，あるいは$3$つあった場合，$3600$万人の有権者達は$1800$万人ずつ，あるいは$1200$万人ずつ各政党に投票するものとする．たとえば，$\mathrm{X}$と$\mathrm{Z}$が$15\mathrm{\%}\text{，}\mathrm{Y}$が$5\mathrm{\%}$を公約する場合，$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}\text{，}\mathrm{Z}$の合計得票数はそれぞれ$30\text{，}48\text{，}30$（百万票）となる．この結果は表３に示されている．（次の(2)も答えなさい．）

(1)　各表の空欄にもっとも適切な数値を入れなさい．ただし単位は百万票とします．

(2)　各党は得票数を最大化することを考えている．$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}\text{，}\mathrm{Z}$がそれぞれ，$15\mathrm{\%}\text{，}5\mathrm{\%}\text{，}15\mathrm{\%}$を選択する場合，$\mathrm{Y}$と$\mathrm{Z}$が公約を変えないとき，$\mathrm{X}$は公約を$10\mathrm{\%}$に変更すると$\mathrm{X}$の得票数は増える．$\mathrm{X}$と$\mathrm{Z}$が公約を変えないとき，$\mathrm{Y}$は公約を$10\mathrm{\%}$に変更すると$\mathrm{Y}$の得票数は増える．同様に$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$が公約を変えないとき，$\mathrm{Z}$は公約を$10\mathrm{\%}$に変更すると$\mathrm{Z}$の得票数は増える．この意味で，他党が公約を変更しなければ，公約変更の動機が生まれることがある．ただし，他党の公約が変わらないとき，自らの公約を変更しても得票数が増えないならば，公約変更の動機は生じないとする．

　以上の意味で，$3$政党共に自らの公約を変更する動機が生じない場合の数は，表１では$\boxed{\text{(52)}}$個，表２では$\boxed{\text{(53)}}$個，表３では$\boxed{\text{(54)}}$個である．

【５】　座標平面上に右図のような$19\times 19$のます目が描かれている．それらの境界線を用いてできる長方形について考える．ここで，正方形も長方形とみなす．また，面積と形が同一であっても，位置が異なる場合には，異なる長方形とみなす．

(1)　図の左下の点を座標平面の原点$(0,0)$とする．各ます目の幅を$1$とするとき，点$(5,6)$を左下とする長方形の個数は$\boxed{\text{(101)}\text{(102)}\text{(103)}}$である．

(2)　すべての長方形の個数は$\boxed{\text{(104)}\text{(105)}\text{(106)}\text{(107)}\text{(108)}}$である．

(3)　すべての長方形のなかで正方形でないものの個数は$\boxed{\text{(109)}\text{(110)}\text{(111)}\text{(112)}\text{(113)}}$である．

【６】　同じ文字列を空白をはさんで並べることで，いろいろな形を作ることができる．例えば，$\mathrm{SFC}$を次のように並べることで，$5$行の$\mathrm{SFC}$三角形を作ることができる．

　つぎのプログラムは，数 N を入力すると，N 行の$\mathrm{SFC}$三角形を出力するものである．プログラムの空欄に入るもっとも適切な選択肢を選び，その番号を解答欄に答えなさい．なお，各行の行末に空白を出力しないようにしなさい．

• 100 INPUT N
• 110 FOR I = 1 TO N
• 120 IF I = N THEN GOTO 160
• 130 FOR J = $\boxed{\text{(201)}\text{(202)}}$ TO N
• 140 PRINT $\boxed{\text{(203)}\text{(204)}}$ ;
• 150 NEXT J
• 160 FOR J = 1 TO $\boxed{\text{(205)}\text{(206)}}$
• 170 IF I = $\boxed{\text{(207)}\text{(208)}}$ THEN GOTO 220
• 180 IF J = 1 THEN GOTO 220
• 190 IF J = $\boxed{\text{(209)}\text{(210)}}$ THEN GOTO 220
• 200 PRINT $\boxed{\text{(211)}\text{(212)}}$ ;
• 210 GOTO 230
• 220 PRINT $\boxed{\text{(213)}\text{(214)}}$ ;
• 230 NEXT J
• 240 PRINT
• 250 NEXT I
• 260 END

[選択肢]

• (10)　I
• (11)　I + 1
• (12)　I - 1
• (13)　N - I
• (14)　J
• (15)　J + 1
• (16)　J - 1
• (17)　N - J
• (18)　N
• (19)　N + 1
• (20)　N - 1
• (21)　I - J
• (22)　"$␣$"
• (23)　"$␣␣$"
• (24)　"$␣␣␣␣$"
• (25)　"$␣$SFC"

（選択肢では分かりやすくするために文字列中の空白を$␣$で表している．）