2014　上智大学　経済学部2月8日実施MathJax

【１】

(1)　$3^{2014}$は$\boxed{\text{ア}}\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数であり，最も大きい位の数字は$\boxed{\text{イ}}\text{，}$一の位の数字は$\boxed{\text{ウ}}$である．ただし，

${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771\text{，}{\log }_{10}7=0.8451$

とする．

【１】

(2)　連立不等式

$\{\begin{array}{c}y\leqq -2x^2-8x-3\\ y\geqq |3x+6|\end{array}$

で表される座標平面上の領域を$D$とする．

(ⅰ)　$D$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$である．

(ⅱ)　点$(x,y)$が$D$を動くとする．

(a)　$4x+y$の最大値は$\boxed{\text{カ}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{キ}}$である．

(b)　$x^2+4x+y$の最大値は$\boxed{\text{ク}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{ケ}}$である．

【２】　座標空間の原点$\mathrm{O}$を通りベクトル$(1,\sqrt{3},2\sqrt{3})$に平行な直線を$l$とし，点$\mathrm{A}$の座標を$(\sqrt{3}+3,3\sqrt{3}+3,6-2\sqrt{3})$とする．このとき，$\mathrm{O}$を頂点とする円$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}C$は，底面の中心$\mathrm{H}$が$l$上にあり，底面の円周が$\mathrm{A}$を通るとする．

(1)　$\angle \mathrm{AOH}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\pi$である．ただし，$0\leqq \angle \mathrm{AOH}<\pi$とする．

(2)　$\mathrm{H}$の座標は

$(\sqrt{\boxed{\text{シ}}},\boxed{\text{ス}},\boxed{\text{セ}})$

である．

(3)　点$(\sqrt{3},y,z)$が$C$の底面上（境界を含む）にあるとき，常に

$y+\boxed{\text{ソ}}z+\boxed{\text{タ}}=0$

が成り立つ．

(4)　点$(\sqrt{3},y,z)$が$C$の側面上（境界を含む）にあるとき，常に

$\boxed{\text{チ}}{y}^2+\boxed{\text{ツ}}yz+\boxed{\text{テ}}{z}^2+\boxed{\text{ト}}y+\boxed{\text{ナ}}z+21=0$

が成り立つ．また，このときの$z$の最大値は

$\boxed{\text{ニ}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}$

である．

【３】　$1$から$10$までの数字を$1$つずつ書いた$10$枚のカードを数字の小さい順に左から右に並べる．この中から$3$枚を無作為に選び，いずれのカードも元の位置と異なる位置に置くという操作を考える．この操作を$2$回以上続けて行う場合，$2$回目以降はカードの並びを一番最初の状態に戻すことはせず，$1$回前の操作で置き換えられた状態から$3$枚を無作為に選ぶ．また，選んだ$3$枚のカードについて元の位置と異なる位置への置き方が複数あるとき，いずれの置き方も等しい確率で選ばれるものとする．置き換えの操作を$n$回続けて行ったとき，一番左のカードが$10$である確率を$P_n$で表す．

(1)　$P_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$である．

(2)　$n$回の操作の後で一番左のカードが$10$であり，$(n+1)$回目の操作の後も一番左のカードが$10$となる確率を$P_n$の式で表すと${\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}{P}_n$となる．

(3)　$n$回の操作の後で一番左のカードが$10$ではなく，$(n+1)$回目の操作の後で一番左のカードが$10$となる確率を$P_n$の式で表すと${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}{P}_n+\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}$となる．

(4)　$P_{n+1}$を$P_n$の式で表すと

$P_{n+1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}}}{P}_n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{モ}}}{\boxed{\text{ヤ}}}}$

となる．

(5)　$P_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}}}}{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ラ}}}{\boxed{\text{リ}}}}\right)}^n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ル}}}{\boxed{\text{レ}}}}$である．