2014　東邦大学　理学部B日程共通MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　$i$を虚数単位とする．$x={(1+\sqrt{5}i)}^2\text{，}y={(1-\sqrt{5}i)}^2$のとき，$x^2-y^2=\boxed{\text{ア}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅱ)　関数$f(x)=a{x}^3-9x^2+bx+2$は$x=1$および$x=2$のときに極値を持つ．このとき，$a=\boxed{\text{イ}}\text{，}b=\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅲ)　$\sqrt{6}\times \sqrt[3]{75}\times \sqrt[6]{n}$が自然数となるような最小の自然数$n$は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅳ)　$a$を定数として$x$の$2$次関数$f(x)=-x^2+5x+a-11$を考える．すべての整数$x$に対して$f(x)<0$となるような$a$の値の範囲は$a<\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅴ)　男性$2$人と女性$3$人が無作為に横$1$列に並ぶとき，男性$2$人が隣り合わない確率は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅵ)　${\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{65}$を小数で表すと，小数第$\boxed{\text{キ}}$位にはじめて$0$でない数が現れ，その数は$\boxed{\text{ク}}$である．ただし，${\log }_{10}3=0.4771$とする．

【２】　関数$f(x)=2(\sin x+1)(\cos x-1)+3$（ただし，$0\leqq x<2\pi$）について，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$t=\sin x-\cos x$とおくとき，$t$の取り得る値の範囲を求めよ．

(ⅱ)　$f(x)$を$t$の式で表せ．

(ⅲ)　$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(ⅳ)　$f(x)$の最大値をとる$x$の値と最小値をとる$x$の値をそれぞれ求めよ．

【３】　図のように，点$\mathrm{O}$から任意に$2$本の直線をそれぞれ円$C$と$2$点で交わるように引き，その交点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$${\mathrm{P}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{Q}}^{\prime }$としたとき，常に$\mathrm{OP}\cdot \mathrm{OQ}={\mathrm{OP}}^{\prime }\cdot \mathrm{OQ}\mathbb{P}$が成り立つ．これは方べきの定理と呼ばれる．この定理を$2$通りの方法で証明することを考える．ただし，ここでは簡単のため，点$\mathrm{O}$は円$C$の外部にあり，直線と円は相異なる$2$点で交わる場合のみを考えるものとする．

〔座標と方程式による方法〕点$\mathrm{O}$を原点，点$\mathrm{O}$と円$C$の中心を通る直線を$x$軸とした$xy$座標で考える．円$C$の中心を$(a,0)\text{，}$半径を$r$とする．点$\mathrm{O}$を通る直線の傾きを$m$とし，この直線が円$C$と交わる点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha \text{，}$$\beta$としたとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\alpha \beta$を$a\text{，}$$r\text{，}$$m$の式で表せ．

(ⅱ)　(ⅰ)の式を用いて，$\mathrm{OP}\cdot \mathrm{OQ}$を$m$によらない$a$と$r$のみの式で表せ．

〔ベクトルによる方法〕円$C$の中心を$\mathrm{A}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$とおく．また，円$C$の円周上の任意の$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおく．以下の問いに答えよ．

(ⅲ)　${\left|\overrightarrow{p}\right|}^2-2\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{a}={\left|\overrightarrow{q}\right|}^2-2\overrightarrow{q}\cdot \overrightarrow{a}$が成り立つことを示せ．

(ⅳ)　$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$が同一方向であるとき，すなわち，ある正の実数$k$によって$\overrightarrow{q}=k\overrightarrow{p}$とかけるとき，(ⅲ)の等式を用いることによって，$\left|\overrightarrow{p}\right|\left|\overrightarrow{q}\right|$を$\overrightarrow{p}$によらない$\overrightarrow{a}$と$r$のみの式で表せ．

【４】　$xy$平面上の曲線$C$が，$t$を媒介変数として次のように表されているとする．ただし，$0\leqq t\leqq 1$である．

$x=2(1-p)t^2+2pt$

$y=-2q{t}^2+2qt$

ここに，$p\text{，}q$はともに正の定数であり，$p\ne 2$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　曲線$C$の原点$(0,0)$における接線$l$の方程式，および，点$(2,0)$における接線$m$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　$2$本の直線$l$と$m$の交点の座標を求めよ．

(ⅲ)　曲線$C$上の任意の点の$y$座標は${\displaystyle \frac{q}{2}}$以下となることを示せ．

(ⅳ)　$p>2$のとき，曲線$C$上の点の$x$座標の最大値を求めよ．