2014　南山大　経営学部2月9日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$2$次方程式$3x^2-14\sqrt{3}x+45=0$の$2$つの解が$\tan \alpha \text{，}\tan \beta$であるとする．ただし，$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$である．このとき，$\tan (\alpha +\beta )$の値は$\boxed{\text{ア}}$であり，$\alpha +\beta$の値は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$\angle \mathrm{A}$が直角で，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=4$である直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$を，$3\mathrm{AD}=2\mathrm{CE}$となるようにとり，四角形$\mathrm{DBCE}$をつくる．このとき，線分$\mathrm{AD}$の長さ$x$のとりうる値の範囲は$0<x<\boxed{\text{ウ}}$であり，四角形$\mathrm{DBCE}$の面積の最小値は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$x$の整式$P(x)$を$x^2+3x+2$で割ったときの余りが$7x+2\text{，}P(x)$を$x^2-x-6$で割ったときの余りが$ax-2$であるとき，定数$a$の値は$\boxed{\text{オ}}$である．また，この$P(x)$を $x^2-2x-3$で割ったときの余りは$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　${\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^x-3{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{x-2}+32\leqq 0$を満たす$x$の範囲は$\boxed{\text{キ}}$である．また，${\log }_3(x+1)<2+{\log }_{\frac{1}{3}}(x-3)$を満たす$x$の範囲は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　$x^2+y^2\leqq 2x+2y$であるとき，$x+y$の最大値は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，$x^2+y^2\leqq 2\left|x\right|+2\left|y\right|$であるとき，$x-y$の最小値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　原点$\mathrm{O}$を通る直線$l_1$と，点$(5,5)$を通る直線$l_2$があり，$l_1$と$l_2$は直交している．また，その交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　$l_1$の傾きが$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとき，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　(1)のとき，$l_1$の下側で，かつ$l_2$の下側であり，さらに放物線$y=x^2-4x$の上側にある部分の面積を求めよ．

(3)　$l_1$と$l_2$が直交しながら動くとき，$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$0\leqq \theta \leqq \pi$において，$t=\sin \theta -\cos \theta$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{ウ}}$である．このとき，$4\sin \theta -4\cos \theta -\sin 2\theta -1$の最小値は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　空間の$2$点$(10,2,5)$と$(-6,t,11)$を直径の両端とする球面が$xy$平面と交わってできる円の中心が$(2,6,0)$であるとき，$t$の値は$\boxed{\text{キ}}$である．また，この円の半径は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　右図のような，$1$辺の長さが$3\mathrm{m}$の正方形の土地がある．この土地に，$1$辺の長さが$1\mathrm{m}$の正方形の人工芝$1$枚と，$2$辺の長さが$2\mathrm{m}$と$1\mathrm{m}$の長方形の人工芝$4$枚の合計$5$枚を重なりあうことなく，また余すことなく敷き詰める．正方形の芝を$\mathrm{A}$の場所に置いたときの敷き詰め方は$\boxed{\text{ケ}}$通りある．また，正方形の芝の置き場所を特定しないとき，芝の敷き詰め方は全部で$\boxed{\text{コ}}$通りある．

【３】　初項が$2$である数列$\{a_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$の初項から第$n$項までの和$S_n$について，$S_{n+1}-2S_n=n^2-n+2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立っている．

(1)　$S_2$を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$であるとき，$S_n-2S_{n-1}$を$n$の式で表せ．

(3)　$a_{n+1}-2a_n$を$n$の式で表せ．

(4)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．