2014　南山大　経済学部Ａ・Ｂ2月10日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　方程式$2\left|x\right|=x+3$の$2$つの解$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$は，$(\alpha ,\beta )=\boxed{\text{ア}}$である．また，${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$と${\displaystyle \frac{1}{\beta }}$が方程式$2\left|x\right|=px+q$の解となるとき，実数$p\text{，}q$の値は$(p,q)=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$2$つの関数$f(x)=x^2+4x+4\text{，}g(x)=-2x^2+4x+k$がある．すべての$x$について$f(x)>g(x)$となる実数$k$の値の範囲は$\boxed{\text{ウ}}$であり，すべての$x_1\text{，}{x}_2$の組について$f(x_1)>g(x_2)$となる$k$の値の範囲は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，不等式$1+\cos 2\theta -\sqrt{2}\sin \theta \leqq 0$を満たす$\theta$の値の範囲は，$\boxed{\text{オ}}$である．$\theta$がこの範囲にあるとき，$t=\sqrt{3}\sin \theta +\cos \theta$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$x^{4}y=81\text{，}x\geqq 1\text{，}y\geqq 1$のとき，$z={\log }_{3}x$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{キ}}$であり，$({\log }_{3}x)({\log }_{3}y)+3{({\log }_{3}x)}^2$の最大値は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　$xy$平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(4,8)\text{，}\mathrm{B}(4,0)$がある．$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線の方程式は$\boxed{\text{ケ}}$であり，$▵\mathrm{AOB}$に内接する円の中心の座標は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$2$つの関数$f(x)=x^3-3x+k\text{，}g(x)=3x+1$がある．それぞれのグラフを曲線$C\text{：}y=f(x)\text{，}$直線$l\text{：}y=g(x)$とする．ただし，$k$は実数である．

(1)　$f(x)$の極大値と極小値を$k$で表せ．

(2)　$C$が$l$に接するような$k$の値が$2$つある．これらを小さい順に$k_1\text{，}{k}_2$とし，$k=k_1$のときの接点を$\mathrm{P}\text{，}k=k_2$のときの接点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(3)　(2)で求めた$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$について，$C$が線分$\mathrm{PQ}$の中点を通るとき，$C$と$l$の交点の座標を求めよ．

(4)　方程式$f(x)=g(x)$の異なる実数解の個数を求めよ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=14\text{，}\mathrm{BC}=7\text{，}\mathrm{CD}=5\sqrt{3}\text{，}\angle \mathrm{ABC}=60\mathrm{°}$であるとき，$\mathrm{AD}=\boxed{\text{ア}}$であり，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　方程式$x^2+px+4=0$が$2$つの異なる虚数解$\alpha \text{，}\beta$を持ち，${\alpha }^3={\beta }^3$を満たすとき，正の実数$p$の値は$\boxed{\text{ウ}}$であり，このときの${\alpha }^6+{\beta }^6$の値は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　関数$f(x)={\log }_{\frac{1}{4}}(-x^2-x+6)$の定義域は$\boxed{\text{オ}}$であり，$f(x)$の最小値を，${\log }_{2}5$を用いて表すと$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が階段の同じ段でじゃんけんを$1$回だけする．グーで勝てば$3$段，チョキあるいはパーで勝てば$6$段上がる．ただし，負けやあいこの場合はその段に留まり，上がった段数を$0$とする．$\mathrm{A}$は確率$p$でグー，確率$q$でチョキ，確率$(1-p-q)$でパーを出すが，$\mathrm{B}$はグー，チョキ，パーをそれぞれ確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で出すとき，$(\mathrm{A}\text{が上がる段数})-(\mathrm{B}\text{が上がる段数})$の期待値は$\boxed{\text{キ}}$である．また，その期待値が最大となるような$p\text{，}q$の値は$(p,q)=\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　平面上に正方形$\mathrm{ABCD}$と点$\mathrm{E}$がある．ただし，$\mathrm{E}$は正方形$\mathrm{ABCD}$の外部にあり，$\mathrm{EA}=\mathrm{EB}=\mathrm{AB}$を満たす．また，$\mathrm{AB}$と$\mathrm{EC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{EB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{EF}}$それぞれを$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\boxed{\text{ケ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_0^1}|t^2-xt|dt$がある．

(1)　$f(0)$と$f(1)$の値を求めよ．

(2)　$x\leqq 0$のときの$f(x)$と，$x\geqq 1$のときの$f(x)$を，それぞれ$x$の$1$次式で表せ．

(3)　$f(x)$の最小値およびそのときの$x$の値を求め，$f(x)$のグラフを描け．

【３】　$xy$平面上に，$2$点${\mathrm{P}}_1(1,0)\text{，}{\mathrm{Q}}_1(0,1)$をとる．また，$0<t<{\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1$を$1-t:t$に内分する点を${\mathrm{P}}_2$とし，${\mathrm{P}}_2$を通って${\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1$に垂直な直線と$y$軸との交点を${\mathrm{Q}}_2$とする．さらに，線分${\mathrm{P}}_2{\mathrm{Q}}_2$を$1-t:t$に内分する点を${\mathrm{P}}_3$とし，${\mathrm{P}}_3$を通って${\mathrm{P}}_2{\mathrm{Q}}_2$に垂直な直線と$y$軸との交点を${\mathrm{Q}}_3$とする．一般に，線分${\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n$を$1-t:t$に内分する点を${\mathrm{P}}_{n+1}$とし，${\mathrm{P}}_{n+1}$を通って${\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n$に垂直な直線と$y$軸との交点を${\mathrm{Q}}_{n+1}$とする．${\mathrm{P}}_n$の座標を$(a_n,b_n)\text{，}{\mathrm{Q}}_n$の$y$座標を$c_n$とする．なお，$b_{n+1}={\displaystyle \frac{c_{n+1}+c_n}{2}}$が成立することは，証明せずに利用してよい．ただし，$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$とする．

(1)　${\mathrm{P}}_2$の座標$(a_2,b_2)\text{，}{\mathrm{Q}}_2$の$y$座標$c_2$を，それぞれ$t$で表せ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$と$t$で表し，数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$t$を用いて表せ．

(3)　$c_n$を$b_{n+1}\text{，}{b}_n\text{，}t$で表し，$b_{n+2}$を$b_{n+1}\text{，}{b}_n\text{，}t$で表せ．

(4)　数列$\{b_n\}$の階差数列$\{d_n\}$の一般項$d_n$を$t$を用いて表し，数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を$t$を用いて表せ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　定数$a$について，関数$f(x)=8^{{\log }_2(x-1)}$と$g(x)=(x-2)(x^2+a)$がある．$a=3$のとき，$f(x)=g(x)$を満たす$x$の値は$\boxed{\text{オ}}$である．また，$x\geqq 3$となるすべての$x$について，$f(x)<g(x)$となる$a$の値の範囲は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x-1}}}$を微分すると，$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{ケ}}$であり，$f(x)=-f^{\prime }(x)$を満たす$x$の値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　関数$f(\theta )={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}\sin \theta +\cos \theta }{\sin \theta \cos \theta }}$について，$f^{\prime }(\theta )=0$を満たす$\theta$の値を$\alpha$とする．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(1)　$f^{\prime }(\theta )$を求めよ．

(2)　$\alpha$の値と$f(\alpha )$の値を求めよ．

(3)　$g(\theta )=f(\theta )-f({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta )$とするとき，$g(\theta )<0$となる$\theta$の範囲と，$g(\alpha )$の値を求めよ．