2014　南山大　外・総政2月13日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．$\cos \theta -\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，$\sin 2\theta =\boxed{\text{ア}}\text{，}\tan 2\theta =\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$x\text{，}y$が$3$つの不等式$x+y\geqq 2\text{，}x-y\leqq 2\text{，}2x+3y\leqq 6$を同時に満たすとき，$2x+y$の最大値は$\boxed{\text{ウ}}$であり，最小値は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　方程式$x^3+x^2+x+1=0$の$3$つの解を$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$とするとき，$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =\boxed{\text{オ}}$である．また，方程式$x^3+4x^2+\boxed{\text{カ}}x+4=0$は$\alpha -1\text{，}\beta -1\text{，}\gamma -1$を解とする．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　不等式${\log }_3(3-x)>{\log }_3(3x+1)$の解は$\boxed{\text{キ}}$であり，${\log }_{\frac{1}{3}}(3-x)>{\log }_{\frac{1}{9}}(3x+1)$の解は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　平面上に放物線$C\text{：}y=x^2$と$2$点$\mathrm{A}(-2,4)\text{，}\mathrm{B}(0,6)$がある．$\mathrm{A}$を通り傾きが$2$の直線を$l_1$とすると，$C$と$l_1$で囲まれた部分の面積$S_1$は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，$\mathrm{B}$を通り傾きが$m$の直線を$l_2$とし，$C$と$l_2$で囲まれた部分の面積を$S_2$とすると，$S_1=S_2$となるのは$m=\boxed{\text{コ}}$のときである．

【２】　平面上に$3$点$\mathrm{A}(t,t)\text{，}\mathrm{B}(3t,3t)\text{，}\mathrm{C}(2t,4t)$を頂点とする$▵\mathrm{ABC}$がある．ただし，$t>0$である．

(1)　$\angle \mathrm{B}=90\mathrm{°}$であることを示せ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の外接円の方程式を，$t$を用いて表せ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の外接円の中心の軌跡を求めよ．

(4)　$▵\mathrm{ABC}$の外接円と円$x^2+y^2=1$がただ$1$つの共有点を持つとき，$t$の値を求めよ．

(5)　(4)で求めた共有点における共通の接線の方程式を求めよ．