2014　同志社大　政策・文化情報・スポーツ健康科学部文系2月7日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　$25$の$26$乗，つまり${25}^{26}$は$\boxed{\text{ア}}$桁の数であり，最高位の数字は$\boxed{\text{イ}}$である．ただし${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(1,-1,4)\text{，}\mathrm{B}(3,0,1)\text{，}\mathrm{C}(-2,-4,2)\text{，}\mathrm{D}(0,6,4)$をとる．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$の大きさは$\boxed{\text{ウ}}$である．$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値は$\boxed{\text{エ}}$であるので，$▵\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{オ}}$である．また，$4$四面体$\mathrm{ABCD}$に外接する球の中心の座標は$\boxed{\text{カ}}$であり，この球の半径は$\boxed{\text{キ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(3)　袋の中に赤玉が$2$個，白玉が$10$個入っており，$1$回に球を$1$個ずつ取り出す．ただし取り出した球は元に戻さない．$1$回目に赤玉を取り出す確率は，$\boxed{\text{ク}}$である．$1\leqq k\leqq 11$のとき，$k$回目に初めて赤玉を取り出す確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．したがって，初めて赤玉を取り出す回数の期待値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$k$を実数とする．関数$f(x)=|x^2(x-3)|$に関して，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフを描け．

(2)　曲線$y=f(x)$と直線$y=kx$が第$1$象限で接するような$k$の値を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と直線$y=kx$の共有点の個数が$4$であるための$k$の条件を求めよ．

(4)　曲線$y=f(x)$と直線$y=kx$の共有点の個数が$4$であるとき，この$4$つの共有点の$x$座標をそれぞれ求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$は，初項$a_1=1\text{，}$公差$2$の等差数列とする．また$j<k$を満たすすべての$2$つの正の整数$j\text{，}k$に対して和$a_j+a_k$を考え，その和として重複を許してできた数を大きくない順に並べかえてできる数列を$\{b_n\}$とする．したがって，$b_1=a_1+a_2=4\text{，}{b}_2=a_1+a_3=6\text{，}{b}_3=8\text{，}{b}_4=8$となる．このとき次の問いに答えよ．

(1)　正の整数$n$に対して等差数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．

(2)　$b_6\text{，}{b}_{15}$をそれぞれ求めよ．

(3)　$a_j+a_k=2014$（ただし$j<k$）を満たす$2$つの正の整数の組$(j,k)$の個数を求めよ．

(4)　$N$を$1$以上の整数とする．数列$\{b_n\}$で丁度$N$回出現する数が$2$つある．これらを$A\text{，}B\text{（}A<B\text{）}$とする．このとき，$A\text{，}B$をそれぞれ$N$を用いて表せ．

(5)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{71}}{b}_k$の値を求めよ．