2014　同志社大　法・グローバルコミュニケーション学部2月8日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　$2$つの定数$A\text{，}B$に対して$1$次式$f(x)=Ax+B$は，関係式$f(x)=3x-1+{\displaystyle {\int }_0^1}(t-x)f(t)dt$を持たすとする．このとき，$A=\boxed{\text{ア}}\text{，}B=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　$n$を正の整数とする．数列$\{a_n\}$は，初項$a_1=2$を満たし，漸化式$a_{n+1}={(-1)}^n{a}_n+3$を満たしている．このとき，$a_4=\boxed{\text{ウ}}\text{，}{a}_5=\boxed{\text{エ}}$である．また$a_{2014}=\boxed{\text{オ}}$であり，初項から第$2014$項までの和は${\displaystyle \sum _{k=1}^{2014}}{a}_k=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(3)　$2\text{，}4\text{，}8\text{，}16\text{，}32$の数字がそれぞれ書かれた$5$つの球の入っている袋から元に戻さずに$2$つ球を順に取り出し，最初の球に書かれている数字を$a\text{，}$次の球に書かれた数字を$b$とし$X={\log }_{a}b$の値を計算する．$X$の値の最大値を整数で表すと$\boxed{\text{キ}}$である．${\log }_{a}b=2$となる$a\text{，}b$の組$(a,b)$は$\boxed{\text{ク}}$通りある．$X$の値が整数となる確率は$\boxed{\text{ケ}}$であり，$X$の値の期待値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　座標平面上において，放物線$C\text{：}y=x^2$と$2$点$\mathrm{A}(-1,1)\text{，}\mathrm{B}(2,4)$を考える．また，$-1<t<2$を満たす実数$t$に対して，放物線$C$上の点$\mathrm{P}(t,t^2)$を考える．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$の値を$t$を用いて表せ．

(2)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PB}}$のなす角を$\theta \text{（}0<\theta <\pi \text{）}$とする．このとき$\cos \theta$の値を$t$を用いて表せ．また$\theta \ne {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき${\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}$の値を$t$を用いて表せ．

(3)　$t$が$-1<t<2$を満たしながら変化するとき，$\angle \mathrm{APB}$が最小となる$t$の値を求めよ．

【３】　$a\text{，}b\text{，}c$を実数とする．$0\leqq x\leqq \pi$で定義された$2$つの関数

$f(x)=\sin x+a\sin 2x$

$g(x)=\sin x+2b\sin 2x+c\sin 3x$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq \pi$において$f(x)\geqq 0$となるような$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$(b,c)$平面上において，円$S\text{：}{b}^2+c^2-c=0$上の点$({\displaystyle \frac{2}{5}},{\displaystyle \frac{1}{5}})$における接線の方程式を求めよ．

(3)　$b>0\text{，}c>0$であり，$b>2c$とする．$0\leqq x\leqq \pi$において$g(x)\geqq 0$となるような$b\text{，}c$の条件を求め，$(b,c)$平面に図示せよ．

(4)　$b>0\text{，}c>0$とする．$0\leqq x\leqq \pi$において$g(x)\geqq 0$となるような$b\text{，}c$の条件を求め，$(b,c)$平面に図示せよ．