2014　同志社大　神・心理・商・地域文化学部2月9日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　$1$辺の長さが$1$である正方形の頂点に時計回りに$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3$の番号が付いている．さいころを振って出た目を$4$で割った余りの番号の頂点を選ぶ．さいころを$1$回振って選んだ頂点が$1$である確率は$\boxed{\text{ア}}$である．さいころを$2$回振って選んだ$2$つの頂点が一致する確率は$\boxed{\text{イ}}$であり，$2$つの頂点の距離が$\sqrt{2}$となる確率は$\boxed{\text{ウ}}$である．さいころを$2$回振って選んだ$2$つの頂点の距離の期待値は$\boxed{\text{エ}}$である．ただし，$2$つの頂点が一致するとき，$2$つの頂点の距離は$0$であるとする．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　$\theta$を$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす実数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，円$C\text{：}{x}^2+y^2=1$と直線$L\text{：}y=(\tan \theta )(x+1)$は，$\theta$の値によらない点$\mathrm{A}$と$\theta$の値に依存する点$\mathrm{P}$で交わる．点$\mathrm{A}$の座標は$\boxed{\text{オ}}$であり，点$\mathrm{P}$の座標は$\boxed{\text{カ}}$である．直線$\mathrm{AP}$に関して原点$\mathrm{O}$の対称な点$\mathrm{Q}$の座標は$\boxed{\text{キ}}$である．直線$\mathrm{AP}$に関して円$C$に対称な図形は，中心の座標が$\boxed{\text{ク}}\text{，}$半径が$\boxed{\text{ケ}}$の円$S$である．円$S$と$x$軸の共有点が$2$つあるとき，点$\mathrm{A}$以外の共有点の座標は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$2$つの正の実数$x\text{，}y$が${\log }_{2}x+{\log }_{4}y=4$を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　$y$を$x$を用いて表せ．

(2)　$x^2+y$の最小値とそのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

(3)　${({\log }_{2}x)}^2+{({\log }_{2}y)}^2$の最小値を求めよ．

(4)　$2$つの正の整数$m\text{，}n$が${\log }_{2}m+{\log }_{4}n=4$を満たすとする．このとき，${({\log }_{2}m)}^2+{({\log }_{2}n)}^2$が最小となるような$m\text{，}n$の値を求めよ．

【３】　$A$を$1$より大きい定数とし，$n$を正の整数とする．$3$次関数$f(x)=x^3-A^3$を考える．数列$\{a_n\}$を次のように定義する．

　$a_1=1$とし，曲線$C\text{：}y=f(x)$上の点$(a_n,f(a_n))$における曲線$C$の接線$L$と$x$軸との交点を$(a_{n+1},0)$となるように定める．

　このとき次の問いに答えよ．

(1)　正の整数$n$に対して$a_{n+1}$を$a_n$と$A$を用いて表せ．

(2)　$a_2>A$であることを示せ．また$2$以上の整数$n$に対して，不等式$a_n>A$が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ．

(3)　$2$以上の整数$n$に対して，不等式$a_{n+1}<a_n$が成り立つことを示せ．

(4)　不等式

$a_{n+1}-A<{\displaystyle \frac{2}{3}}(a_n-A)\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つことを示せ．