2014　関西大　法・経済・政策・外国語・総合情報2月6日実施MathJax

$f(\theta )=2{\sin }^3\theta -8\sin \theta \cos \theta +2{\cos }^3\theta$

の最大値を求める．次の$\boxed{}$をうめよ．

　$t=\sin \theta +\cos \theta$とおく．

$\sin \theta +\cos \theta =\boxed{\text{①}}\sin (\theta -\boxed{\text{②}})$（ただし，$0\leqq \boxed{\text{②}}\leqq 2\pi$）

だから，$t$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{③}}$となる．

${(\sin \theta +\cos \theta )}^2=1+\boxed{\text{④}}\sin \theta \cos \theta$，

${\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta ={(\sin \theta +\cos \theta )}^3-\boxed{\text{⑤}}\sin \theta \cos \theta (\sin \theta +\cos \theta )$

より，$f(\theta )$を$t$で表すと，$\boxed{\text{⑥}}$となる．よって，$f(\theta )$の最大値は$\boxed{\text{⑦}}$である．

　$n$を自然数とする．$xy$平面において，$0\leqq x<n\text{，}{x}^2\leqq y<n^2$であって$x\text{，}y$が整数である点$(x,y)$の個数を$a_n$とする．$a_1\text{，}{a}_3-a_2$を求めると，

$a_1=\boxed{\text{①}}\text{，}{a}_3-a_2=\boxed{\text{②}}$

である．$n^2\leqq y<{(n+1)}^2$を満たす整数$y$の個数は$\boxed{\text{③}}$個であるから，$a_{n+1}-a_n$を$n$で表すと，

$a_{n+1}-a_n=\boxed{\text{④}}$

である．これより$a_n$は$n$を用いて$a_n=\boxed{\text{⑤}}\cdot (4n-1)$と表すことができる．このとき

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{4k-1}{a_k}}={\displaystyle \frac{3}{a_1}}+{\displaystyle \frac{7}{a_2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{4n-1}{a_n}}=\boxed{\text{⑥}}$

である．

(1)　円の中心の座標と半径を求めよ．

(2)　定数$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$\mathrm{PQ}$の長さが$\sqrt{2}$となる$a$の値を求めよ．