2014　関西大　文系学部2月3日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　放物線$y=f(x)$が点$(1,2)$を通り，この点における接線の傾きが$0\text{，}$点$(3,f(3))$における接線の傾きが$4$となるとき，$f(x)=\boxed{\text{①}}$である．この放物線$y=f(x)$を$x$軸方向に$p\text{，}y$軸方向に$q$だけ平行移動した放物線を$y=g(x)$とする．放物線$y=g(x)$も点$(1,2)$を通り，点$(4,g(4))$における接線の傾きが$2$となるのは，$p=\boxed{\text{②}}\text{，}$$q=\boxed{\text{③}}$のときで，$g(x)=\boxed{\text{④}}$となる．

　放物線$y=\boxed{\text{④}}$が$x$軸と交わる$2$点の$x$座標は，$\boxed{\text{⑤}}$である．不等式

$y\leqq \boxed{\text{①}}\text{，}$$y\leqq \boxed{\text{④}}\text{，}$$3\geqq x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$

の表す領域の面積は$1+\boxed{\text{⑥}}$である．

【２】　$1$辺の長さが$2a$の正方形$\mathrm{ABCD}$の紙がある．辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{DE}\text{，}\mathrm{EF}\text{，}\mathrm{FD}$を折り目にして，頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を重ねて$1$つの頂点$\mathrm{P}$にし，四面体$\mathrm{PDEF}$をつくる．この四面体の体積$V$を以下のように考えて求める．次の$\boxed{}$をうめよ．

　$\mathrm{EF}$の中点を$\mathrm{G}$とすると，$\mathrm{BG}=\boxed{\text{①}}$だから，$\mathrm{DG}$の長さは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{②}}}{2}}$である．よって

$▵\mathrm{DEF}\text{の面積}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{EF}\cdot \mathrm{DG}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{③}}}{2}}$

である．

　$▵\mathrm{PGD}$において，$\mathrm{PG}=\boxed{\text{④}}\text{，}\mathrm{PD}=\boxed{\text{⑤}}$だから，$\mathrm{P}$から底面$▵\mathrm{DEF}$へ下ろした垂線と$▵\mathrm{DEF}$との交点を$\mathrm{H}$とすると，$\mathrm{PH}=\boxed{\text{⑥}}$であることがわかる．よって四面体の体積$V$は$\boxed{\text{⑦}}$である．

【３】　次の漸化式によって定義される数列$\{a_n\}$を考える．

$a_1=0\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cos (a_n\pi )-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin (a_n\pi )\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

次の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$を求め，$a_n\text{（}n\geqq 2\text{）}$を推測せよ．

(2)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(a_k)}^{2k}\text{（}n\geqq 2\text{）}$を$n$を用いて表せ．