2014　関西大　理系学部2月5日実施MathJax

【１】　$0\leqq x\leqq 2\pi$で定義された関数$f(x)={\displaystyle \frac{\cos x}{2+\sin x}}$に対して，$0\leqq t\leqq \pi$で定義された関数$g(t)$を$g(t)={\displaystyle {\int }_t^{t+\pi }}f(x)dx$と定める．

(1)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の増減表を示し，極値を求めよ．

(3)　$g(t)$の増減を調べて，$g(t)$が極小となるときの$t$の値を求めよ．

(4)　$g(t)$の極小値を求めよ．

【２】　自然数の列を，次のように奇数個ずつの群に分ける．

$|\underset{\text{第}1\text{群}}{1,2,3}|\underset{\text{第}2\text{群}}{4,5,6,7,8}|\underset{\text{第}3\text{群}}{9,10,11,12,13,14,15}|16,\cdots$

このとき，次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　第$n$群（$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）の最初の自然数は$\boxed{\text{①}}$であり，第$n$群の最後の自然数は$\boxed{\text{②}}$である．

(2)　第$n$群に含まれるすべての数の和を$S_n$とすると，$S_n=\boxed{\text{③}}$であり，不等式${\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}}<{\displaystyle \frac{3}{2}}$を満たす最小の自然数$n$は$\boxed{\text{④}}$である．

(3)　$2014$は第$\boxed{\text{⑤}}$群の$\boxed{\text{⑥}}$番目の自然数である．

(4)　自然数$k$の平方根$\sqrt{k}$の整数部分を$a_k$とする．このとき，$a_3=\boxed{\text{⑦}}\text{，}{\displaystyle \sum _{k=1}^{15}}{a}_k=\boxed{\text{⑧}}$であり，${\displaystyle \sum _{k=1}^{2014}}{a}_k=\boxed{\text{⑨}}$である．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，点$(4\sqrt{3},0)\text{，}$$(0,4)$を，それぞれ点$(\sqrt{3},3)\text{，}$$(-\sqrt{3},1)$に移す$1$次変換を表す行列$A$を

$A=r\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$

とする．ただし，$r>0\text{，}$$0\leqq \theta <2\pi$である．このとき，次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$r=\boxed{\text{①}}\text{，}$$\theta =\boxed{\text{②}}$である．

(2)　$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とする．

$A^n=kE$（$k$は実数）を満たす最小の自然数$n$は$n=\boxed{\text{③}}$である．また，$A^2=sA+tE$を満たす実数$s\text{，}$$t$の値は$s=\boxed{\text{④}}\text{，}$$t=\boxed{\text{⑤}}$である．

(3)　点列${\mathrm{P}}_n(x_n,y_n)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}$を$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right)\text{，}$$n\geqq 2$のとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n}$を$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n}=A^{n-1}\left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right)$によって定める．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n}$の長さは$n$を用いて$\left|\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n}\right|=\boxed{\text{⑥}}$と表されるから，$▵\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$の面積を$S_n$とすると，$S_n=\boxed{\text{⑦}}\text{，}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n=\boxed{\text{⑧}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$1$から$6$間での自然数から異なる$4$個の数を無作為に選ぶとき，$2$番目に小さい数字を$X$とする．$X=2$となる確率は$\boxed{\text{①}}$であり，$X$の期待値は$\boxed{\text{②}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　$9^n<2^{50}$を満たす自然数$n$のうち，最大のものを$N$とすると，$N=\boxed{\text{③}}$であり，${15}^N$は$\boxed{\text{④}}$桁の自然数である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$とその内部になる点$\mathrm{P}$が，$7\overrightarrow{\mathrm{PA}}+2\overrightarrow{\mathrm{PB}}+3\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$を満たしている．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\boxed{\text{⑤}}$と表される．また，$▵\mathrm{PAB}\text{，}▵\mathrm{PBC}\text{，}▵\mathrm{PCA}$の面積をそれぞれ$S_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3$とすると，$S_1:S_2:S_3=\boxed{\text{⑥}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq \pi$とする．方程式$2\sin \theta \cos \theta +2\sin \theta -\cos \theta -1=0$の解は，$\theta =\pi$と$\theta =\boxed{\text{⑦}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　楕円$x^2+4y^2+6x-40y+101=0$上の点$(-1,6)$における接線$l$の方程式は，$x+\boxed{\text{⑧}}y=\boxed{\text{⑨}}$である．また，この楕円の$2$つの焦点と$l$の距離の積は$\boxed{\text{⑩}}$である．