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2014-14991-1001
2014 関西大学 全学部日程・センター中期
社会安全・システム理工・環境都市工
・化学生命工学部
2月7日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の問いに答えよ.
(1) ∫ log ⁡xx 2⁢ dx =- log⁡x x- 1x +C を利用して,不定積分
I= ∫ (log⁡ x) 2x2 ⁢ dx
を求めよ.ただし, C は積分定数とする.
(2) x>0 のとき,不等式
4⁢x 14 e- log⁡x≧ 0
を示せ.ただし, e は自然対数の底である.
(3) limn →∞ ∫ 1n (log ⁡x) 2x2 ⁢ dx を求めよ.
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【2】 次の をうめよ.
第 1 象限において動点 Q を,原点を中心とする半径 1 の円の内部にとり, O (0 ,0) , P ( 1,0 ) とする. ∠OPQ= θ , r= |PQ → | とおく. OQ→ を成分表示すると, ( ① , ② ) となる. k=| OQ→ | とおくと, r と θ を用いて, k= ③ と表される. 1-k 2= ( ④ )⁢ r であるから,点 Q が角 θ を一定に保ったまま P に近づくときの比 r1-k の極限は θ の関数として f ⁡(θ )= 1 ⑤ と表される.このとき, limθ →0 f⁡( θ)= ⑥ であり, f⁡( θ) <22 -3 を満たす θ の範囲は ⑦ である.
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【3】 g⁡( x) を x の多項式とし,
f⁡( x)= ∫ 0x (3⁢ t2- 4⁢t+ 1)⁢ eg⁡ (t) ⁢dt
とする.次の問いに答えよ.
(1) f⁡( x) の導関数 f ′⁡( x) を g ⁡(x ) を用いて表せ.
(2) すべての x について
f⁡( x)+ e-1 27= eg⁡ (x)
が成り立つとき, g⁡( x) を求めよ.
(3) (2)の条件が成り立つとき,関数 f ⁡(x ) の極値を求めよ.
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【4】 次の をうめよ.
(1) 方程式 81 ⁢3× 9x2 -36 x=0 の解は x = ① である.
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(2) 連立方程式
{ x⁢( x-2⁢ y-1) =0 y⁢( 2⁢x- y-1) =0
の解 ( x,y ) の個数は ② 個である.
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(3) a ,b を正の数とするとき, limn →∞ log⁡ (1 + a+bn + a⁢b n2 )n = ③ である.
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(4) 不等式 tan3⁡ πn+2 - 73⁢ tan⁡ πn+2 + 23⁢ 3 <0 の満たす自然数 n をすべて求めると, ④ である.
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(5) 原点を中心とする半径 1 の円 C と直線 l :y=m ⁢x+2 がある. C と l が共有点をもたない条件は m を用いて ⑤ と表される.このとき, C 上に動点 P ,l 上に動点 Q をとったとき,距離 PQ の最小値を m を用いて表すと ⑥ である.
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(6) m を 2 以上の整数とするとき, limn →∞ 1 n2 ⁢m-1 m ⁢ ∑ k=1 nk m-1 m= ⑦ である.