2014　関西大　全学部日程文系学部2月8日実施MathJax

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を求めよ．

(2)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の定める平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{H}$は$\alpha$上にあり，直線$\mathrm{CH}$は$\alpha$に直交している．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たす実数$s\text{，}t$を求めよ．

(3)　$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を頂点とする四面体の体積を求めよ．

$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{a}_n=\sqrt{{\displaystyle \frac{1+a_{n-1}}{2}}}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$a_1$は実数${\theta }_1=\boxed{\text{①}}(0\leqq {\theta }_1<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を用いて$a_1=\cos {\theta }_1$と表され，$a_2$は実数${\theta }_2=\boxed{\text{②}}(0\leqq {\theta }_2<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を用いて$a_2=\cos {\theta }_2$と表される．

(2)　一般に，実数$\theta$に対して，${\cos }^2\theta$は$\cos 2\theta$を用いて${\cos }^2\theta =\boxed{\text{③}}$のように表されるから，

$a_n=\cos (\boxed{\text{④}})\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

であると推測される．数学的帰納法により，この推測が正しいことがわかる．

さて，

$2\cos (\boxed{\text{④}})\sin (\boxed{\text{④}})=\sin (\boxed{\text{⑤}})$

と書けることに注意して，同様の計算を繰り返し行うと，

$2^n{a}_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot \cdots \cdot a_n\cdot \sin (\boxed{\text{④}})=\boxed{\text{⑥}}$

であることがわかる．よって，

$a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot \cdots \cdot a_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{⑥}}}{2^n\sin (\boxed{\text{④}})}}$

である．

(1)　自然数$m\text{，}n$に対して，$2^m-1=n^2$が成立したとする．$2^m$は偶数だから，$n$は奇数となる．よって，ある自然数$r$を用いて$n=2r-1$と表せる．このとき，

$2^m=2(2r^2-\boxed{\text{①}}r+1)$

が成立する．もし，$2r^2-\boxed{\text{①}}r$が$0$でなければ，$2^m$がある$1$より大きい奇数で割り切れることになり，矛盾する．したがって，$m=n=\boxed{\text{②}}$となる．

(2)　$y^2-4x^4$を因数分解すると$(y+\boxed{\text{③}}{x}^2)(y-\boxed{\text{③}}{x}^2)$となる．$y+\boxed{\text{③}}{x}^2$は$2^{21}$の正の約数だから，ある$0$以上の整数$a$を用いて$y+\boxed{\text{③}}{x}^2=2^a$と表せる．このとき，$y-\boxed{\text{③}}{x}^2=2^{\boxed{\text{④}}}$が成立する．よって，

$2\cdot \boxed{\text{③}}{x}^2=2^{\boxed{\text{④}}}(2^{\boxed{\text{⑤}}}-1)$

が成立する．一般に最大公約数が$1$である自然数$u\text{，}v$に対して，$uv$がある自然数の$2$乗になるならば，$u\text{，}v$それぞれがある自然数の$2$乗になる．したがって，(1)より，$x=2^{\boxed{\text{⑥}}}\text{，}y=3\cdot 2^{\boxed{\text{⑦}}}$と求まる．