2015　小樽商科大学　前期

【１】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(1)　$n^2-92n+2015\leqq 0$を満たす整数$n$は全部で$\boxed{\text{(a)}}$個である．

【１】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(2)　方程式${\log }_x(x^3+2)={\log }_{x}x(2x+1)$を解くと$x=\boxed{\text{(b)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(3)　右図の直角三角形$\mathrm{ACD}$において，$\mathrm{\angle BCD}=90\mathrm{°}\text{，}\mathrm{\angle DAC}=\alpha \text{，}\mathrm{\angle DBC}=\beta \text{，}\mathrm{AB}=x\text{，}\mathrm{CD}=h$とするとき，$h$を$x\text{，}\alpha \text{，}\beta$で表すと$h=\boxed{\text{(c)}}$である．

【２】　曲線$T\text{：}y=x^3+6x^2$について，次の問いに答えよ．

(1)　点$(2,a)$を通る曲線$T$への接線の本数$L$を求めよ．ただし$a>0$とする．

(2)　この$L$が$2$本のとき，接点の$x$座標が小さい方の接線と，曲線$T$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【３】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(1)　整数$m\geqq 2015$に対し，${\displaystyle \frac{1}{2^2-1}}+{\displaystyle \frac{1}{4^2-1}}+{\displaystyle \frac{1}{6^2-1}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{{(2m)}^2-1}}=\boxed{\text{(ア)}}\text{．}$

【３】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(2)　右図のような道に沿って$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで進むとき，最短経路は何通りあるかを求めると$\boxed{\text{(イ)}}$通り．

【３】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(3)　中心が$\mathrm{A}(1,0)$にある半径$r\text{（}0<r<1\text{）}$の円に原点$\mathrm{O}$から$2$本の接線を引く．それぞれの接点と中心$\mathrm{A}$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする四角形の面積の最大値$M$とそのときの$r$の値を求めると$(M,r)=\boxed{\text{(ウ)}}\text{．}$

【４】　四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{▵OCA}$の重心を$\mathrm{F}\text{，}\mathrm{▵DEF}$の重心を$\mathrm{G}$とする．そのとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$で表せ．

【５】　曲線$C\text{：}y=\log x$上の点$({\displaystyle \frac{3}{2}},\log {\displaystyle \frac{3}{2}})$における$C$の接線と直線$x=1\text{，}x=3\text{，}$曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数とする．